2005 AMC 12B 第 12 题

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12.

二次方程

x^2 + mx + n = 0

的根是

x^2 + px + m = 0

的根的两倍，且

m

，

n

，

p

都不为零。

\dfrac{n}{p}

是多少？

The quadratic equation

x^2 + mx + n = 0

has roots that are twice those of

x^2 + px + m = 0,

and none of

m,

n,

and

p

is zero. What is the value of

\dfrac{n}{p}?

1

2

4

8

16

答案：D

知识点：韦达定理二次方程

难度评级：1530

小提示：

设

x^2 + px + m = 0

的根为

r_1, r_2

；另一个方程的根为

2r_1, 2r_2

。

Let

r_1, r_2

be the roots of

x^2 + px + m = 0

; the other equation has roots

2r_1, 2r_2

大提示：

用韦达定理把

m, n, p

写成

r_1 r_2

和

r_1 + r_2

的式子。

Write

m, n, p

in terms of

r_1 r_2

and

r_1 + r_2

using Vieta’s formulas

解答：

设

r_1

和

r_2

是

x^2 + px + m = 0

的根，则

m = r_1 r_2

，且

p = -(r_1 + r_2)

。

方程

x^2 + mx + n = 0

的根为

2r_1

和

2r_2

，所以

n = 4r_1 r_2

，且

m = -2(r_1 + r_2)

。

于是

n = 4m

，且

m = 2p

，即

p = \dfrac{m}{2}

，所以

\dfrac{n}{p} = \dfrac{4m}{\tfrac{m}{2}} = 8\text{。}

所以正确答案是 D。

Let

r_1

and

r_2

be the roots of

x^2 + px + m = 0,

so

m = r_1 r_2

and

p = -(r_1 + r_2).

The roots of

x^2 + mx + n = 0

are

2r_1

and

2r_2,

so

n = 4r_1 r_2

and

m = -2(r_1 + r_2).

Then

n = 4m

and

m = 2p,

which gives

p = \dfrac{m}{2},

so

\dfrac{n}{p} = \dfrac{4m}{\tfrac{m}{2}} = 8.

Thus, the correct answer is D.

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