1993 AMC 12 第 11 题

Question

若

\log_2(\log_2(\log_2(x)))=2

，则

x

的十进制表示有多少位？

If

\log_2(\log_2(\log_2(x)))=2,

then how many digits are in the base-ten representation for

x?

5

7

9

11

13

从最外层开始，逐层撤销对数运算。

Undo the logarithms one at a time from the outside

依次得到的值为

2

、

4

和

16

，然后再求

x

。

The successive values are

2,

4,

and

16

before solving for

x

逐层撤销对数运算，得到

\begin{aligned} \log_2(\log_2 x)&=4,\\ \log_2x&=16,\\ x&=2^{16}=65536 \end{aligned}\text{。}

这个数的十进制表示有

5

位。因此正确答案是 A。

Undoing the logarithms gives

\begin{aligned} \log_2(\log_2 x)&=4,\\ \log_2x&=16,\\ x&=2^{16}=65536. \end{aligned}

This number has

5

decimal digits. Thus the correct answer is A.

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