2005 AIME I Problema 7

Question

En el cuadrilátero

ABCD,

BC = 8,

CD = 12,

AD = 10,

y

m\angle A = m\angle B = 60^\circ.

Dado que

AB = p + \sqrt{q},

donde

p

y

q

son enteros positivos, halle

p + q.

In quadrilateral

ABCD,

BC = 8,

CD = 12,

AD = 10,

and

m\angle A = m\angle B = 60^\circ.

Given that

AB = p + \sqrt{q},

where

p

and

q

are positive integers, find

p + q.

Respuesta

Respuesta: 150

Conceptos:ley de los cosenos triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Prolongue

\overline{AD}

y

\overline{BC}

hasta que se corten en

P;

los dos ángulos de

60^\circ

hacen que el triángulo

ABP

sea equilátero

Extend

\overline{AD}

and

\overline{BC}

to meet at

P;

the two

60^\circ

angles make triangle

ABP

equilateral

Pista grande:

Aplique la ley de cosenos en el triángulo

PDC,

donde

PD = AB - 10,

PC = AB - 8,

y

\angle P = 60^\circ

Apply the Law of Cosines in triangle

PDC,

where

PD = AB - 10,

PC = AB - 8,

and

\angle P = 60^\circ

Solución:

Prolongue los rayos

AD

y

BC

hasta que se corten en

P.

El triángulo

ABP

tiene ángulos de

60^\circ

en

A

y

B,

así que es equilátero:

PA = PB = AB.

Escribiendo

x = AB,

obtenemos

PD = PA - AD = x - 10

y

PC = PB - BC = x - 8.

La ley de cosenos en el triángulo

PDC,

con

\angle P = 60^\circ

y

DC = 12,

da

\begin{aligned} 144 &= (x-10)^2 + (x-8)^2 \\ &\quad {}- (x-10)(x-8) \\ &= x^2 - 18x + 84, \end{aligned}

así que

x^2 - 18x - 60 = 0

y

x = 9 + \sqrt{81 + 60} = 9 + \sqrt{141}.

Por lo tanto

p + q = 9 + 141 = 150.

Extend rays

AD

and

BC

until they meet at

P.

Triangle

ABP

has

60^\circ

angles at

A

and

B,

so it is equilateral:

PA = PB = AB.

Writing

x = AB,

we get

PD = PA - AD = x - 10

and

PC = PB - BC = x - 8.

The Law of Cosines in triangle

PDC,

with

\angle P = 60^\circ

and

DC = 12,

gives

\begin{aligned} 144 &= (x-10)^2 + (x-8)^2 \\ &\quad {}- (x-10)(x-8) \\ &= x^2 - 18x + 84, \end{aligned}

so

x^2 - 18x - 60 = 0

and

x = 9 + \sqrt{81 + 60} = 9 + \sqrt{141}.

Thus

p + q = 9 + 141 = 150.