Question

Una caja rectangular de $m \times n \times p$ tiene la mitad del volumen de una caja rectangular de $(m + 2) \times (n + 2) \times (p + 2)$ , donde $m,$ $n,$ y $p$ son enteros, y $m \le n \le p.$ ¿Cuál es el mayor valor posible de $p$ ?

An $m \times n \times p$ rectangular box has half the volume of an $(m + 2) \times (n + 2) \times (p + 2)$ rectangular box, where $m,$ $n,$ and $p$ are integers, and $m \le n \le p.$ What is the largest possible value of $p?$

Respuesta

Respuesta: 130

Conceptos:Ecuación diofántica Truco de factorización favorito de Simon acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2740

Solución:

La condición $2mnp = (m + 2)(n + 2)(p + 2)$ se reescribe como Si $m = 1$ , el primer factor por sí solo es $3 \gt 2,$ y si $m = 2$ es igual a $2$ mientras que los otros factores superan $1;$ ambos son imposibles. Si $m \ge 5,$ entonces como $n \ge m$ , los dos primeros factores son a lo sumo $\left(\frac{7}{5}\right)^2 = \frac{49}{25},$ lo que obliga a $1 + \frac{2}{p} \ge \frac{50}{49},$ es decir $p \le 98.$ $\begin{aligned} &\left(1 + \frac{2}{m}\right)\left(1 + \frac{2}{n}\right)\left(1 + \frac{2}{p}\right) \\ &= 2. \end{aligned}$

Para $m = 4$ la ecuación se vuelve $4np = 3(n + 2)(p + 2),$ es decir $(n - 6)(p - 6) = 48,$ así que $p \le 54.$ Para $m = 3$ se vuelve $6np = 5(n + 2)(p + 2),$ es decir $np - 10n - 10p - 20 = 0,$ o $(n - 10)(p - 10) = 120.$ Ambos factores deben ser positivos (si $n, p \lt 10$ , el producto $(10 - n)(10 - p)$ es a lo sumo $49$ ), así que el mayor $p$ proviene de $n - 10 = 1:$ $n = 11$ y $p = 130.$ En efecto, $2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 130 = 8580$ $= 5 \cdot 13 \cdot 132.$

Como todos los demás casos dan $p \le 98,$ el mayor valor posible es $p = 130.$

The condition $2mnp = (m + 2)(n + 2)(p + 2)$ rewrites as $\begin{aligned} &\left(1 + \frac{2}{m}\right)\left(1 + \frac{2}{n}\right)\left(1 + \frac{2}{p}\right) \\ &= 2. \end{aligned}$ If $m = 1$ the first factor alone is $3 \gt 2,$ and if $m = 2$ it equals $2$ while the other factors exceed $1;$ both are impossible. If $m \ge 5,$ then since $n \ge m$ the first two factors are at most $\left(\frac{7}{5}\right)^2 = \frac{49}{25},$ forcing $1 + \frac{2}{p} \ge \frac{50}{49},$ i.e. $p \le 98.$

For $m = 4$ the equation becomes $4np = 3(n + 2)(p + 2),$ i.e. $(n - 6)(p - 6) = 48,$ so $p \le 54.$ For $m = 3$ it becomes $6np = 5(n + 2)(p + 2),$ i.e. $np - 10n - 10p - 20 = 0,$ or $(n - 10)(p - 10) = 120.$ Both factors must be positive (if $n, p \lt 10$ the product $(10 - n)(10 - p)$ is at most $49$ ), so the largest $p$ comes from $n - 10 = 1:$ $n = 11$ and $p = 130.$ Indeed $2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 130 = 8580$ $= 5 \cdot 13 \cdot 132.$

Since every other case yields $p \le 98,$ the largest possible value is $p = 130.$

1998 AIME Problema 14

Respuesta: 130

Nivel de dificultad: 2740

Solución:

El Problema 14 en otros años