Question

En un círculo de radio

42,

dos cuerdas de longitud

78

se cortan en un punto cuya distancia al centro es

18.

Las dos cuerdas dividen el interior del círculo en cuatro regiones. Dos de ellas están limitadas por segmentos de longitudes distintas, y el área de cualquiera puede expresarse de manera única como

m\pi-n\sqrt d,

donde

m,

n,

y

d

son enteros positivos y

d

no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla

m+n+d.

In a circle of radius

42,

two chords of length

78

intersect at a point whose distance from the center is

18.

The two chords divide the interior of the circle into four regions. Two of these regions are bordered by segments of unequal lengths, and the area of either of them can be expressed uniquely in the form

m\pi-n\sqrt d,

where

m,

n,

and

d

are positive integers and

d

is not divisible by the square of any prime. Find

m+n+d.

Respuesta

Respuesta: 378

Conceptos:sector circular cuerda geometría analítica

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Cada cuerda está a

9\sqrt3

del centro; determina las dos direcciones posibles de una recta que pase por el punto de intersección

Each chord is

9\sqrt3

from the center, so determine the two possible line directions through the intersection point

Pista grande:

Los segmentos desiguales de las cuerdas miden

30

y

48,

y sus extremos subtienden

60^\circ

en el centro

The unequal chord segments have lengths

30

and

48,

and their endpoints subtend

60^\circ

at the center

Solución:

Coloca el centro en

O=(0,0)

y la intersección en

P=(18,0).

Una cuerda de longitud

78

está a

9\sqrt3

de

O,

así que una recta por

P

que contenga tal cuerda forma un ángulo de

60^\circ

o

120^\circ

con

OP.

Resolver sobre cualquiera de las dos rectas da segmentos de longitudes

30

y

48.

Para cualquiera de las regiones limitadas por segmentos desiguales, los dos extremos del arco subtienden

60^\circ

en

O.

Su área es el sector menos

\triangle OAB

más

\triangle PAB:

\begin{aligned}\frac{60}{360}\pi(42)^2&-\frac12(42)^2\sin60^\circ\\&+\frac12(30)(48)\sin60^\circ\\&=294\pi-81\sqrt3.\end{aligned}

Por tanto,

m+n+d=378.

Put the center at

O=(0,0)

and the intersection at

P=(18,0).

A length-

78

chord is

9\sqrt3

from

O,

so a line through

P

containing such a chord makes angle

60^\circ

or

120^\circ

with

OP.

Solving along either line gives segment lengths

30

and

48.

For either region bordered by unequal segments, the two arc endpoints subtend

60^\circ

at

O.

Its area is the sector minus

\triangle OAB

plus

\triangle PAB:

\begin{aligned}\frac{60}{360}\pi(42)^2&-\frac12(42)^2\sin60^\circ\\&+\frac12(30)(48)\sin60^\circ\\&=294\pi-81\sqrt3.\end{aligned}

Hence

m+n+d=378.

1995 AIME Problema 14

Respuesta: 378

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años