Question

Sea

C

la gráfica de

xy=1,

y sea

C^*

la reflexión de

C

respecto de la recta

y=2x.

Escribe la ecuación de

C^*

en la forma

12x^2+bxy+cy^2+d=0.

Halla el producto

bc.

Let

C

be the graph of

xy=1,

and denote by

C^*

the reflection of

C

in the line

y=2x.

Let the equation of

C^*

be written in the form

12x^2+bxy+cy^2+d=0.

Find the product

bc.

Respuesta

Respuesta: 84

Conceptos:reflexión (geometría)transformación hipérbola

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Halla la matriz de reflexión respecto de la recta generada por

(1,2)

Find the reflection matrix for the line spanned by

(1,2)

Pista grande:

Como una reflexión es su propia inversa, sustituye las coordenadas reflejadas en

uv=1

Because reflection is its own inverse, substitute the reflected coordinates into

uv=1

Solución:

La reflexión respecto de la recta generada por

(1,2)

tiene matriz

\frac15\begin{pmatrix}-3&4\\4&3\end{pmatrix}.

Así, un punto

(x,y)

de

C^*

corresponde a un punto cuyas coordenadas son

u=\frac{-3x+4y}{5}

y

v=\frac{4x+3y}{5},

situado en

C.

Al sustituir

uv=1

se obtiene

-12x^2+7xy+12y^2-25=0,

o bien

12x^2-7xy-12y^2+25=0.

Por tanto,

b=-7,

c=-12,

y

bc=84.

Reflection in the line spanned by

(1,2)

has matrix

\frac15\begin{pmatrix}-3&4\\4&3\end{pmatrix}.

Thus a point

(x,y)

on

C^*

came from

u=\frac{-3x+4y}{5}

and

v=\frac{4x+3y}{5}

on

C.

Substituting

uv=1

gives

-12x^2+7xy+12y^2-25=0,

or

12x^2-7xy-12y^2+25=0.

Hence

b=-7,

c=-12,

and

bc=84.

1988 AIME Problema 14

Respuesta: 84

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años