Question

Supón que

a,

b,

c,

y

d

son enteros positivos tales que

a^5=b^4,

c^3=d^2,

y

c-a=19.

Determina

d-b.

Assume that

a,

b,

c,

and

d

are positive integers such that

a^5=b^4,

c^3=d^2,

and

c-a=19.

Determine

d-b.

Respuesta

Respuesta: 757

Conceptos:potencia perfecta diferencia de cuadrados Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Parametriza las soluciones de

a^5=b^4

y

c^3=d^2

Parametrize the solutions of

a^5=b^4

and

c^3=d^2

Pista grande:

Factoriza la diferencia resultante

s^2-t^4

Factor the resulting difference

s^2-t^4

Solución:

Al comparar exponentes primos, escribimos

\begin{aligned} a&=t^4,\quad b=t^5,\\ c&=s^2,\quad d=s^3 \end{aligned}

para enteros positivos

s,

t.

Entonces

(s-t^2)(s+t^2)=s^2-t^4=19.

Como

19

es primo, los factores son

1

y

19,

lo que da

s=10

y

t^2=9.

Por tanto,

t=3,

y

\begin{aligned} d-b&=10^3-3^5\\ &=1000-243=757. \end{aligned}

Comparing prime exponents, write

\begin{aligned} a&=t^4,\quad b=t^5,\\ c&=s^2,\quad d=s^3 \end{aligned}

for positive integers

s,

t.

Then

(s-t^2)(s+t^2)=s^2-t^4=19.

Since

19

is prime, the factors are

1

and

19,

giving

s=10

and

t^2=9.

Thus

t=3,

and

\begin{aligned} d-b&=10^3-3^5\\ &=1000-243=757. \end{aligned}

1985 AIME Problema 7

Respuesta: 757

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 7 en otros años