2025 AMC 12A 第 11 题

Question

三角形的垂心是三条（必要时延长的）高的共点交点。顶点为

A(2, 31)

、

B(8, 27)

和

C(18, 27)

的三角形，其垂心坐标之和是多少？

The orthocenter of a triangle is the concurrent intersection of the three (possibly extended) altitudes. What is the sum of the coordinates of the orthocenter of the triangle whose vertices are

A(2, 31),

B(8, 27),

and

C(18, 27)?

5

17

10 + 4\sqrt{17} + 2\sqrt{13}

\dfrac{113}{3}

54

答案：A

知识点：坐标几何高线斜率

难度评级：1570

小提示：

B

和

C

同在直线

y = 27

上，所以从

A

作的高是竖直直线

x = 2

B

and

C

share

y = 27,

so the altitude from

A

is the vertical line

x = 2

大提示：

从

B

作的高垂直于

AC

；将它与

x = 2

相交

The altitude from

B

is perpendicular to

AC

; intersect it with

x = 2

解答：

由于

B

和

C

都在直线

y = 27

上，边

BC

是水平的，所以从

A

作的高是竖直直线

x = 2

。

边

AC

的斜率为

\dfrac{27 - 31}{18 - 2} = -\dfrac{1}{4}

，所以从

B

作的高斜率为

4

：

y - 27 = 4(x - 8)\text{。}

当

x = 2

时，

y = 27 + 4(2 - 8) = 3

。垂心为

(2, 3)

，坐标和为

5

。

因此，正确答案是 A。

Since

B

and

C

both have

y = 27,

side

BC

is horizontal and the altitude from

A

is the vertical line

x = 2.

Side

AC

has slope

\dfrac{27 - 31}{18 - 2} = -\dfrac{1}{4},

so the altitude from

B

has slope

4

:

y - 27 = 4(x - 8).

At

x = 2,

y = 27 + 4(2 - 8) = 3.

The orthocenter is

(2, 3),

with coordinate sum

5.

Thus, the correct answer is A.

2025 AMC 12A 第 11 题

答案：A

难度评级：1570

小提示：

大提示：

解答：

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