2023 AMC 12B 第 12 题

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12.

对于复数

u=a+bi

和

v=c+di

，定义二元运算

\otimes

为

u\otimes v=ac+bdi\text{。}

设

z

是一个复数，满足

z\otimes z=z^2+40

。

|z|

是多少？

For complex numbers

u=a+bi

and

v=c+di,

define the binary operation

\otimes

by

u\otimes v=ac+bdi.

Suppose

z

is a complex number such that

z\otimes z=z^2+40.

What is

|z|?

2

5

\sqrt{5}

\sqrt{10}

5\sqrt{2}

答案：E

知识点：自定义运算复数方程组

难度评级：1630

小提示：

写

z=a+bi

；则

z\otimes z=a^2+b^2 i

而

z^2=a^2-b^2+2abi

。

Write

z=a+bi;

then

z\otimes z=a^2+b^2 i

while

z^2=a^2-b^2+2abi

大提示：

比较

z\otimes z=z^2+40

的实部和虚部，然后计算

a^2+b^2

。

Match real and imaginary parts of

z\otimes z=z^2+40,

then compute

a^2+b^2

解答：

令

z=a+bi

，则

z\otimes z=a^2+b^2 i

，且

z^2+40=(a^2-b^2+40)+2abi

。比较实部得

a^2=a^2-b^2+40

，所以

b^2=40

。比较虚部得

b^2=2ab

，所以

b=2a

，

a^2=\tfrac{b^2}{4}=10

。因此

|z|^2=a^2+b^2=50

，所以

|z|=5\sqrt{2}

。

因此，正确答案是 E。

With

z=a+bi,

we have

z\otimes z=a^2+b^2 i

and

z^2+40=(a^2-b^2+40)+2abi.

The real parts give

a^2=a^2-b^2+40,

so

b^2=40.

The imaginary parts give

b^2=2ab,

so

b=2a

and

a^2=\tfrac{b^2}{4}=10.

Then

|z|^2=a^2+b^2=50,

so

|z|=5\sqrt{2}.

Thus, the correct answer is E.

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