2020 AMC 12B 第 12 题

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12.

\overline{AB}

是半径为

5\sqrt2

的圆的一条直径。

\overline{CD}

是圆中的一条弦，与

\overline{AB}

相交于点

E

，且满足

BE = 2\sqrt5

、

\angle AEC = 45^\circ

。求

CE^2 + DE^2

。

Let

\overline{AB}

be a diameter in a circle of radius

5\sqrt2.

Let

\overline{CD}

be a chord in the circle that intersects

\overline{AB}

at a point

E

such that

BE = 2\sqrt5

and

\angle AEC = 45^\circ.

What is

CE^2 + DE^2?

96

98

44\sqrt{5}

70\sqrt{2}

100

答案：E

知识点：坐标几何弦韦达定理

难度评级：1630

小提示：

把圆心放在原点，把

\overline{AB}

放在

x

-轴上，并从

E

沿

45^\circ

方向参数化这条弦。

Put the center at the origin with

\overline{AB}

on the

x

-axis and parametrize the chord from

E

at

45^\circ

大提示：

若

t_1, t_2

是从

E

到

C, D

的有向距离，则

CE^2 + DE^2 = t_1^2 + t_2^2

。

If

t_1, t_2

are the signed distances from

E

to

C, D,

then

CE^2 + DE^2 = t_1^2 + t_2^2

解答：

将圆心置于原点，

\overline{AB}

放在

x

-轴上；半径为

R = 5\sqrt2

，所以

R^2 = 50

。于是

E = (x_E, 0)

，其中

x_E = R - 2\sqrt5

，但它的具体值不需要算出。

把弦参数化为

E + t\left(\tfrac{1}{\sqrt2}, \tfrac{1}{\sqrt2}\right)

。代入圆方程

x^2 + y^2 = 50

得到

t^2 + \sqrt2\,x_E\, t + (x_E^2 - 50) = 0

，其根

t_1, t_2

是到

C

和

D

的有向距离。

由韦达定理，

t_1 + t_2 = -\sqrt2\,x_E

，且

t_1 t_2 = x_E^2 - 50

，所以

\begin{gathered} CE^2 + DE^2 = t_1^2 + t_2^2 \\ {}= (t_1 + t_2)^2 - 2t_1 t_2 \\ {}= 2x_E^2 - 2(x_E^2 - 50) \\ {}= 100 \end{gathered}\text{。}

所以正确答案是 E。

Place the center at the origin with

\overline{AB}

on the

x

-axis; the radius is

R = 5\sqrt2,

so

R^2 = 50.

Then

E = (x_E, 0)

with

x_E = R - 2\sqrt5

(its exact value is not needed).

Parametrize the chord as

E + t\left(\tfrac{1}{\sqrt2}, \tfrac{1}{\sqrt2}\right).

Substituting into

x^2 + y^2 = 50

gives

t^2 + \sqrt2\,x_E\, t + (x_E^2 - 50) = 0,

whose roots are the signed distances

t_1, t_2

to

C

and

D.

By Vieta,

t_1 + t_2 = -\sqrt2\,x_E

and

t_1 t_2 = x_E^2 - 50,

so

\begin{gathered} CE^2 + DE^2 = t_1^2 + t_2^2 \\ {}= (t_1 + t_2)^2 - 2t_1 t_2 \\ {}= 2x_E^2 - 2(x_E^2 - 50) \\ {}= 100. \end{gathered}

Thus, the correct answer is E.

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