Question

$\overline{AB}$ 是半径为 $5\sqrt2$ 的圆的一条直径。 $\overline{CD}$ 是圆中的一条弦，与 $\overline{AB}$ 相交于点 $E$ ，且满足 $BE = 2\sqrt5$ 、 $\angle AEC = 45^\circ$ 。求 $CE^2 + DE^2$ 。

Let $\overline{AB}$ be a diameter in a circle of radius $5\sqrt2.$ Let $\overline{CD}$ be a chord in the circle that intersects $\overline{AB}$ at a point $E$ such that $BE = 2\sqrt5$ and $\angle AEC = 45^\circ.$ What is $CE^2 + DE^2?$

$96$

$98$

$44\sqrt{5}$

$70\sqrt{2}$

$100$

答案：E

知识点：坐标几何弦韦达定理

难度评级：1630

解答：

将圆心置于原点， $\overline{AB}$ 放在 $x$ -轴上；半径为 $R = 5\sqrt2$ ，所以 $R^2 = 50$ 。于是 $E = (x_E, 0)$ ，其中 $x_E = R - 2\sqrt5$ ，但它的具体值不需要算出。

把弦参数化为 $E + t\left(\tfrac{1}{\sqrt2}, \tfrac{1}{\sqrt2}\right)$ 。代入圆方程 $x^2 + y^2 = 50$ 得到 $t^2 + \sqrt2\,x_E\, t + (x_E^2 - 50) = 0$ ，其根 $t_1, t_2$ 是到 $C$ 和 $D$ 的有向距离。

由韦达定理， $t_1 + t_2 = -\sqrt2\,x_E$ ，且 $t_1 t_2 = x_E^2 - 50$ ，所以 $\begin{gathered} CE^2 + DE^2 = t_1^2 + t_2^2 \\ {}= (t_1 + t_2)^2 - 2t_1 t_2 \\ {}= 2x_E^2 - 2(x_E^2 - 50) \\ {}= 100. \end{gathered}$

所以正确答案是 E。

Place the center at the origin with $\overline{AB}$ on the $x$ -axis; the radius is $R = 5\sqrt2,$ so $R^2 = 50.$ Then $E = (x_E, 0)$ with $x_E = R - 2\sqrt5$ (its exact value is not needed).

Parametrize the chord as $E + t\left(\tfrac{1}{\sqrt2}, \tfrac{1}{\sqrt2}\right).$ Substituting into $x^2 + y^2 = 50$ gives $t^2 + \sqrt2\,x_E\, t + (x_E^2 - 50) = 0,$ whose roots are the signed distances $t_1, t_2$ to $C$ and $D.$

By Vieta, $t_1 + t_2 = -\sqrt2\,x_E$ and $t_1 t_2 = x_E^2 - 50,$ so $\begin{gathered} CE^2 + DE^2 = t_1^2 + t_2^2 \\ {}= (t_1 + t_2)^2 - 2t_1 t_2 \\ {}= 2x_E^2 - 2(x_E^2 - 50) \\ {}= 100. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is E.

2020 AMC 12B 第 12 题

答案：E

难度评级：1630

解答：

其他年份的第 12 题