Question

两条斜率分别为 $\dfrac{1}{2}$ 和 $2$ 的直线在 $(2, 2)$ 相交。由这两条直线和直线 $x + y = 10$ 围成的三角形面积是多少？

Two lines with slopes $\dfrac{1}{2}$ and $2$ intersect at $(2, 2).$ What is the area of the triangle enclosed by these two lines and the line $x + y = 10?$

$4$

$4\sqrt{2}$

$6$

$8$

$6\sqrt{2}$

答案：C

知识点：坐标几何三角形面积鞋带公式

难度评级：1280

解答：

两条直线分别为 $y = \tfrac{1}{2}x + 1$ 和 $y = 2x - 2$ 。分别与 $x + y = 10$ 联立，得到点 $(6, 4)$ 和 $(4, 6)$ 。

三角形顶点为 $(2, 2)$ ， $(6, 4)$ ，和 $(4, 6)$ 。由鞋带公式，

$\begin{aligned} &\small \tfrac{1}{2}\left| 2(4 - 6) + 6(6 - 2) + 4(2 - 4) \right| \\ &= \tfrac{1}{2}\left| -4 + 24 - 8 \right| \\ &= 6. \end{aligned}$

所以正确答案是 C。

The two lines are $y = \tfrac{1}{2}x + 1$ and $y = 2x - 2.$ Intersecting each with $x + y = 10$ gives the points $(6, 4)$ and $(4, 6).$

The triangle has vertices $(2, 2),$ $(6, 4),$ and $(4, 6).$ By the shoelace formula,

$\begin{aligned} &\small \tfrac{1}{2}\left| 2(4 - 6) + 6(6 - 2) + 4(2 - 4) \right| \\ &= \tfrac{1}{2}\left| -4 + 24 - 8 \right| \\ &= 6. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

2019 AMC 12A 第 5 题

答案：C

难度评级：1280

解答：

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