2019 AMC 12A 第 5 题

Question

两条斜率分别为

\dfrac{1}{2}

和

2

的直线在

(2, 2)

相交。由这两条直线和直线

x + y = 10

围成的三角形面积是多少？

Two lines with slopes

\dfrac{1}{2}

and

2

intersect at

(2, 2).

What is the area of the triangle enclosed by these two lines and the line

x + y = 10?

4

4\sqrt{2}

6

8

6\sqrt{2}

答案：C

知识点：坐标几何三角形面积鞋带公式

难度评级：1280

小提示：

分别求出两条直线与

x + y = 10

的交点

Find where each line meets

x + y = 10

大提示：

三个顶点是

(2, 2)

，

(6, 4)

，和

(4, 6)

；使用鞋带公式

The three vertices are

(2, 2),

(6, 4),

and

(4, 6);

use the shoelace formula

解答：

两条直线分别为

y = \tfrac{1}{2}x + 1

和

y = 2x - 2

。分别与

x + y = 10

联立，得到点

(6, 4)

和

(4, 6)

。

三角形顶点为

(2, 2)

，

(6, 4)

，和

(4, 6)

。由鞋带公式，

\begin{aligned} &\small \tfrac{1}{2}\left| 2(4 - 6) + 6(6 - 2) + 4(2 - 4) \right| \\ &= \tfrac{1}{2}\left| -4 + 24 - 8 \right| \\ &= 6 \end{aligned}\text{。}

所以正确答案是 C。

The two lines are

y = \tfrac{1}{2}x + 1

and

y = 2x - 2.

Intersecting each with

x + y = 10

gives the points

(6, 4)

and

(4, 6).

The triangle has vertices

(2, 2),

(6, 4),

and

(4, 6).

By the shoelace formula,

\begin{aligned} &\small \tfrac{1}{2}\left| 2(4 - 6) + 6(6 - 2) + 4(2 - 4) \right| \\ &= \tfrac{1}{2}\left| -4 + 24 - 8 \right| \\ &= 6. \end{aligned}

Thus, the correct answer is C.

2019 AMC 12A 第 5 题

答案：C

难度评级：1280

小提示：

大提示：

解答：

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