2017 AMC 12B 第 11 题

Question

若一个正整数是一位数，或者从左到右读它的数字时，其数字构成严格递增或严格递减的序列，就称它为单调数。例如，

3

、

23578

和

987620

是单调数，但

88

、

7434

和

23557

不是。共有多少个单调正整数？

Call a positive integer monotonous if it is a one-digit number or its digits, when read from left to right, form either a strictly increasing or a strictly decreasing sequence. For example,

3,

23578,

and

987620

are monotonous, but

88,

7434,

and

23557

are not. How many monotonous positive integers are there?

1024

1524

1533

1536

2048

答案：B

知识点：子集双射容斥原理

难度评级：1590

小提示：

\{1, 2, \ldots, 9\}

的每个非空子集都唯一对应一个严格递增数

Each nonempty subset of

\{1, 2, \ldots, 9\}

gives exactly one strictly increasing number

大提示：

递减数对应

\{0, 1, \ldots, 9\}

的子集，但排除

\varnothing

和

\{0\}

；一位数被重复计算

Decreasing numbers correspond to subsets of

\{0, 1, \ldots, 9\}

except

\varnothing

and

\{0\};

single digits are counted twice

解答：

严格递增的单调数对应

\{1, \ldots, 9\}

的非空子集，得到

2^9 - 1 = 511

。严格递减的数对应

\{0, 1, \ldots, 9\}

的子集，但要排除

\varnothing

和

\{0\}

（不允许前导

0

），得到

2^{10} - 2 = 1022

。九个一位数在两类中被重复计算，所以总数为

511 + 1022 - 9 = 1524

。

所以正确答案是 B。

Strictly increasing monotonous numbers correspond to nonempty subsets of

\{1, \ldots, 9\},

giving

2^9 - 1 = 511.

Strictly decreasing ones correspond to subsets of

\{0, 1, \ldots, 9\}

other than

\varnothing

and

\{0\}

(a leading

0

is not allowed), giving

2^{10} - 2 = 1022.

The nine single-digit numbers are counted in both, so the total is

511 + 1022 - 9 = 1524.

Thus, the correct answer is B.

2017 AMC 12B 第 11 题

答案：B

难度评级：1590

小提示：

大提示：

解答：

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