2016 AMC 12A 第 12 题

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12.

在

\triangle ABC

中，

AB=6

、

BC=7

、

CA=8

。点

D

在

\overline{BC}

上，且

\overline{AD}

平分

\angle BAC

。点

E

在

\overline{AC}

上，且

\overline{BE}

平分

\angle ABC

。两条角平分线交于

F

。比值

AF:FD

是多少？

In

\triangle ABC,

AB=6,

BC=7,

and

CA=8.

Point

D

lies on

\overline{BC},

and

\overline{AD}

bisects

\angle BAC.

Point

E

lies on

\overline{AC},

and

\overline{BE}

bisects

\angle ABC.

The bisectors intersect at

F.

What is the ratio

AF:FD?

3:2

5:3

2:1

7:3

5:2

答案：C

知识点：角平分线定理比与比例

难度评级：1500

小提示：

在

\triangle ABC

中应用角平分线定理求

BD

。

Apply the Angle Bisector Theorem in

\triangle ABC

to find

BD

大提示：

在

\triangle ABD

中，线段

BF

平分

\angle ABD

，所以

AF:FD=AB:BD

。

In

\triangle ABD,

segment

BF

bisects

\angle ABD,

so

AF:FD=AB:BD

解答：

在

\triangle ABC

中应用角平分线定理，得到

BD:DC=AB:AC=6:8

，所以

BD=\dfrac{6}{6+8}\cdot 7=3

。

在

\triangle ABD

中，

BF

平分

\angle ABD

，再次应用角平分线定理可得

\begin{gathered} AF:FD=AB:BD\\ =6:3=2:1 \end{gathered}\text{。}

所以正确答案是 C。

Applying the Angle Bisector Theorem to

\triangle ABC

gives

BD:DC=AB:AC=6:8,

so

BD=\dfrac{6}{6+8}\cdot 7=3.

Now

BF

lies along the bisector of

\angle ABD

in

\triangle ABD,

so by the Angle Bisector Theorem again,

\begin{gathered} AF:FD=AB:BD\\ =6:3=2:1. \end{gathered}

Thus, the correct answer is C.

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