Question

一个立方体的一个维度增加 $1$ ，另一个维度减少 $1$ ，第三个维度保持不变。新的长方体体积比原立方体体积少 $5$ 。原立方体的体积是多少？

One dimension of a cube is increased by $1,$ another is decreased by $1,$ and the third is left unchanged. The volume of the new rectangular solid is $5$ less than that of the cube. What was the volume of the cube?

$8$

$27$

$64$

$125$

$216$

答案：D

知识点：体积平方差

难度评级：1100

解答：

设立方体边长为 $x$ 。新长方体的三个维度是 $x + 1$ ， $x - 1$ ，和 $x$ ，因此体积为 $x(x+1)(x-1) = x^3 - x$ 。

令它等于 $x^3 - 5$ 得 $x^3 - x = x^3 - 5$ ，所以 $x = 5$ 。

立方体体积是 $5^3 = 125$ 。

因此，正确答案是 D。

Let the cube have side length $x.$ The new solid has dimensions $x + 1,$ $x - 1,$ and $x,$ so its volume is $x(x+1)(x-1) = x^3 - x.$

Setting this equal to $x^3 - 5$ gives $x^3 - x = x^3 - 5,$ so $x = 5.$

The cube's volume is $5^3 = 125.$

Thus, the correct answer is D.

2009 AMC 12A 第 5 题

答案：D

难度评级：1100

解答：

其他年份的第 5 题