2005 AMC 12A 第 12 题

Question

一条直线经过

A(1, 1)

和

B(100, 1000)

。在线段

A

与

B

之间且坐标均为整数的其他点有多少个？

A line passes through

A(1, 1)

and

B(100, 1000).

How many other points with integer coordinates are on the line and strictly between

A

and

B?

0

2

3

8

9

答案：D

知识点：格点最大公约数斜率

难度评级：1660

小提示：

把斜率

\dfrac{1000 - 1}{100 - 1}

约到最简。

Reduce the slope

\dfrac{1000 - 1}{100 - 1}

to lowest terms

大提示：

直线上的点形如

(1 + 11t,\ 1 + 111t)

；数出严格在两端之间的整数

t

。

Points on the line take the form

(1 + 11t,\ 1 + 111t);

count integer

t

strictly between the endpoints

解答：

斜率为

\dfrac{1000 - 1}{100 - 1} = \dfrac{999}{99} = \dfrac{111}{11}\text{。}

直线上的点形如

(1 + 11t,\ 1 + 111t)

，并且恰好在

t

为整数时是格点。该点严格位于

A

、

B

之间时，

0 \lt t \lt 9

。

这样的整数

t

8

个，因此符合条件的格点有

8

个。

所以正确答案是 D。

The slope is

\dfrac{1000 - 1}{100 - 1} = \dfrac{999}{99} = \dfrac{111}{11}.

So every point on the line has the form

(1 + 11t,\ 1 + 111t),

which is a lattice point exactly when

t

is an integer. The point is strictly between

A

and

B

when

0 \lt t \lt 9.

There are

8

such integers

t,

giving

8

lattice points.

Thus, the correct answer is D.

2005 AMC 12A 第 12 题

答案：D

难度评级：1660

小提示：

大提示：

解答：

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