2004 AMC 12A 第 12 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

12.

设

A = (0, 9)

且

B = (0, 12)

。点

A'

和

B'

在直线

y = x

上，并且

\overline{AA'}

与

\overline{BB'}

交于

C = (2, 8)

。

\overline{A'B'}

的长度是多少？

Let

A = (0, 9)

and

B = (0, 12).

Points

A'

and

B'

are on the line

y = x,

and

\overline{AA'}

and

\overline{BB'}

intersect at

C = (2, 8).

What is the length of

\overline{A'B'}?

2

2\sqrt{2}

3

2 + \sqrt{2}

3\sqrt{2}

答案：B

知识点：坐标几何距离公式

难度评级：1480

小提示：

求出直线

AC

和

BC

的方程，再分别与

y = x

相交。

Find the equations of lines

AC

and

BC,

then intersect each with

y = x

大提示：

A'

和

B'

都在

y = x

上，所以各自的两个坐标相等。

A'

and

B'

both lie on

y = x,

so each has equal coordinates

解答：

直线

AC

经过

(0, 9)

，斜率为

\tfrac{8 - 9}{2 - 0} = -\tfrac12

，所以方程是

y = -\tfrac12 x + 9

。令

y = x

，得到

A' = (6, 6)

。

直线

BC

经过

(0, 12)

，斜率为

-2

，所以方程是

y = -2x + 12

。令

y = x

，得到

B' = (4, 4)

。

因此

\begin{aligned} A'B' &= \sqrt{(6 - 4)^2 + (6 - 4)^2} \\ &= 2\sqrt{2} \end{aligned}\text{。}

所以正确答案是 B。

Line

AC

passes through

(0, 9)

with slope

\tfrac{8 - 9}{2 - 0} = -\tfrac12,

so its equation is

y = -\tfrac12 x + 9.

Setting

y = x

gives

A' = (6, 6).

Line

BC

passes through

(0, 12)

with slope

-2,

so

y = -2x + 12.

Setting

y = x

gives

B' = (4, 4).

Then

\begin{aligned} A'B' &= \sqrt{(6 - 4)^2 + (6 - 4)^2} \\ &= 2\sqrt{2}. \end{aligned}

Thus, the correct answer is B.

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