2005 AIME I Problema 10

Question

El triángulo

ABC

está en el plano cartesiano y tiene área

70.

Las coordenadas de

B

y

C

son

(12, 19)

y

(23, 20),

respectivamente, y las coordenadas de

A

son

(p, q).

La recta que contiene la mediana correspondiente al lado

\overline{BC}

tiene pendiente

-5.

Halle el mayor valor posible de

p + q.

Triangle

ABC

lies in the Cartesian plane and has area

70.

The coordinates of

B

and

C

are

(12, 19)

and

(23, 20),

respectively, and the coordinates of

A

are

(p, q).

The line containing the median to side

\overline{BC}

has slope

-5.

Find the largest possible value of

p + q.

Respuesta

Respuesta: 47

Conceptos:geometría analítica fórmula del cordón mediana (geometría)

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

La mediana correspondiente a

\overline{BC}

pasa por su punto medio

\left(\frac{35}{2}, \frac{39}{2}\right),

así que

A

está en la recta

y = -5x + 107

The median to

\overline{BC}

passes through its midpoint

\left(\frac{35}{2}, \frac{39}{2}\right),

so

A

lies on the line

y = -5x + 107

Pista grande:

Escriba

A = (p, -5p + 107)

e iguale el área obtenida por la fórmula de Gauss a

70;

entonces

p + q = 107 - 4p

es mayor para el menor

p

Write

A = (p, -5p + 107)

and set the shoelace area equal to

70;

then

p + q = 107 - 4p

is larger for the smaller

p

Solución:

La mediana correspondiente a

\overline{BC}

pasa por el punto medio

M = \left(\frac{35}{2}, \frac{39}{2}\right)

de

\overline{BC}.

La recta que pasa por

M

con pendiente

-5

es

y = -5x + 107,

y

A

está en esta recta, así que

A = (p, -5p + 107)

y

q = -5p + 107.

Por la fórmula de Gauss con

B = (12, 19)

y

C = (23, 20),

\begin{aligned} [ABC] &= \small \frac{1}{2}\left|{-p} + 12\bigl(20 - q\bigr) + 23\bigl(q - 19\bigr)\right| \\ &= \frac{1}{2}\left|980 - 56p\right| = 70, \end{aligned}

así que

|56p - 980| = 140,

lo que da

p = 15

o

p = 20.

Como

\begin{aligned} p + q &= p + (-5p + 107) \\ &= 107 - 4p, \end{aligned}

el menor valor

p = 15

da la mayor suma

107 - 60 = 47.

The median to

\overline{BC}

passes through the midpoint

M = \left(\frac{35}{2}, \frac{39}{2}\right)

of

\overline{BC}.

The line through

M

with slope

-5

is

y = -5x + 107,

and

A

lies on this line, so

A = (p, -5p + 107)

and

q = -5p + 107.

By the shoelace formula with

B = (12, 19)

and

C = (23, 20),

\begin{aligned} [ABC] &= \small \frac{1}{2}\left|{-p} + 12\bigl(20 - q\bigr) + 23\bigl(q - 19\bigr)\right| \\ &= \frac{1}{2}\left|980 - 56p\right| = 70, \end{aligned}

so

|56p - 980| = 140,

giving

p = 15

or

p = 20.

Since

\begin{aligned} p + q &= p + (-5p + 107) \\ &= 107 - 4p, \end{aligned}

the smaller value

p = 15

gives the larger sum

107 - 60 = 47.