2025 AMC 12B 第 5 题

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5.

正整数

x

和

y

满足方程

57x + 22y = 400

。求

x + y

的最小可能值。

Positive integers

x

and

y

satisfy the equation

57x + 22y = 400.

What is the least possible value of

x + y?

10

11

13

14

15

答案：E

知识点：丢番图方程模运算

难度评级：1290

小提示：

将

57x + 22y = 400

对

22

取模，以确定

x

的可能形式。

Reduce

57x + 22y = 400

modulo

22

to pin down

x

大提示：

因为

x

为正整数且

57x \lt 400

，所以只需检查很少几个

x

的值。

Since

x

is positive and

57x \lt 400,

only a few values of

x

are possible

解答：

对

22

取模，方程变为

13x \equiv 4

，所以

x \equiv 2 \pmod{22}

。又

57x \lt 400

，正整数解只能有

x = 2

。代回得

22y = 286

，所以

y = 13

。因此

x + y = 15

。

所以正确答案是 E。

Modulo

22,

the equation gives

13x \equiv 4,

so

x \equiv 2 \pmod{22}.

With

57x \lt 400,

the only option is

x = 2,

which gives

22y = 286,

so

y = 13.

Then

x + y = 15.

Thus, the correct answer is E.

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