Question

编号为 $1, 2, 3, \ldots$ 的球按如下步骤放入标为 $A, B, C, D$ 、 $E$ 的 $5$ 个箱子。球 $1$ 放入箱 $A$ ，球 $2$ 和 $3$ 放入箱 $B$ 。接下来的三个球放入箱 $C$ ，接下来的 $4$ 个球放入箱 $D$ ，如此继续，放入箱 $E$ 后再循环回箱 $A$ 。（例如球 $22, 23, \ldots, 28$ 在此过程第 $7$ 步放入箱 $B$ 。）球 $2024$ 放入哪个箱？

Balls numbered $1, 2, 3, \ldots$ are deposited in $5$ bins, labeled $A, B, C, D,$ and $E,$ using the following procedure. Ball $1$ is deposited in bin $A,$ and balls $2$ and $3$ are deposited in $B.$ The next three balls are deposited in bin $C,$ the next $4$ in bin $D,$ and so on, cycling back to bin $A$ after balls are deposited in bin $E.$ (For example, $22, 23, \ldots, 28$ are deposited in bin $B$ at step $7$ of this process.) In which bin is ball $2024$ deposited?

$A$

$B$

$C$

$D$

$E$

答案：D

知识点：三角形数模运算

难度评级：1270

解答：

第 $k$ 步放入 $k$ 个球，所以第 $k$ 步后共放入 $\dfrac{k(k+1)}{2}$ 个球。又 $\dfrac{63 \cdot 64}{2} = 2016$ 而 $\dfrac{64 \cdot 65}{2} = 2080$ ，所以球 $2024$ 在第 $64$ 步。

步骤按 $A, B, C, D, E$ 循环，所以第 $k$ 步使用位置 $(k-1) \bmod 5$ 的箱。这里 $(64 - 1) \bmod 5 = 63 \bmod 5 = 3$ ，即第四个箱 $D$ 。

所以正确答案是 D。

Step $k$ deposits $k$ balls, so after step $k$ a total of $\dfrac{k(k+1)}{2}$ balls have been placed. Since $\dfrac{63 \cdot 64}{2} = 2016$ and $\dfrac{64 \cdot 65}{2} = 2080,$ ball $2024$ falls in step $64.$

The steps cycle through the bins $A, B, C, D, E,$ so step $k$ uses position $(k-1) \bmod 5.$ Here $(64 - 1) \bmod 5 = 63 \bmod 5 = 3,$ which is the fourth bin, $D.$

Thus, the correct answer is D.

2024 AMC 12B 第 4 题

答案：D

难度评级：1270

解答：

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