Question

正整数 $n$ 与 $18$ 的最小公倍数为 $180$ ，且 $n$ 与 $45$ 的最大公因数为 $15$ 。求 $n$ 的各位数字之和。

The least common multiple of a positive integer $n$ and $18$ is $180,$ and the greatest common divisor of $n$ and $45$ is $15.$ What is the sum of the digits of $n?$

$3$

$6$

$8$

$9$

$12$

答案：B

知识点：最小公倍数最大公约数质因数分解

难度评级：1200

解答：

因为 $180=2^2\cdot3^2\cdot5$ ，且 $18=2\cdot3^2$ ，条件 $\operatorname{lcm}(n,18)=180$ 强制 $n$ 提供 $2^2$ 和 $5$ ，同时 $3$ 的幂次至多为 $2$ 。

由 $\gcd(n,45)=\gcd(n,3^2\cdot5)$ $=15=3\cdot5$ ，可知 $n$ 中 $3$ 的幂次恰为 $1$ ， $5$ 的幂次至少为 $1$ 。

因此 $n=2^2\cdot3\cdot5=60$ ，其各位数字之和为 $6$ 。

因此，正确答案是 B。

Since $180=2^2\cdot3^2\cdot5$ and $18=2\cdot3^2,$ the condition $\operatorname{lcm}(n,18)=180$ forces $n$ to contribute $2^2$ and $5,$ with its power of $3$ at most $2.$

From $\gcd(n,45)=\gcd(n,3^2\cdot5)$ $=15=3\cdot5,$ the power of $3$ in $n$ is exactly $1$ and the power of $5$ is at least $1.$

Therefore $n=2^2\cdot3\cdot5=60,$ whose digits sum to $6.$

Thus, the correct answer is B.

2022 AMC 12A 第 4 题

答案：B

难度评级：1200

解答：

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