2022 AMC 12A 第 4 题

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4.

正整数

n

与

18

的最小公倍数为

180

，且

n

与

45

的最大公因数为

15

。求

n

的各位数字之和。

The least common multiple of a positive integer

n

and

18

is

180,

and the greatest common divisor of

n

and

45

is

15.

What is the sum of the digits of

n?

3

6

8

9

12

答案：B

知识点：最小公倍数最大公约数质因数分解

难度评级：1200

小提示：

分解

180=2^2\cdot3^2\cdot5

看

n

需要比

18=2\cdot3^2

多提供哪些质因数幂

Factor

180=2^2\cdot3^2\cdot5

and see which powers

n

must supply beyond

18=2\cdot3^2

大提示：

\gcd(n,45)=15

表明其中恰有一个因数

3

，且至少有一个因数

5

\gcd(n,45)=15

forces exactly one factor of

3

and at least one factor of

5

解答：

因为

180=2^2\cdot3^2\cdot5

，且

18=2\cdot3^2

，条件

\operatorname{lcm}(n,18)=180

强制

n

提供

2^2

和

5

，同时

3

的幂次至多为

2

。

由

\gcd(n,45)=\gcd(n,3^2\cdot5)

=15=3\cdot5

，可知

n

中

3

的幂次恰为

1

，

5

的幂次至少为

1

。

因此

n=2^2\cdot3\cdot5=60

，其各位数字之和为

6

。

因此，正确答案是 B。

Since

180=2^2\cdot3^2\cdot5

and

18=2\cdot3^2,

the condition

\operatorname{lcm}(n,18)=180

forces

n

to contribute

2^2

and

5,

with its power of

3

at most

2.

From

\gcd(n,45)=\gcd(n,3^2\cdot5)

=15=3\cdot5,

the power of

3

in

n

is exactly

1

and the power of

5

is at least

1.

Therefore

n=2^2\cdot3\cdot5=60,

whose digits sum to

6.

Thus, the correct answer is B.

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