2021 AMC 12B Fall 第 5 题

Question

若分数

\dfrac{a}{b}

的正整数分子

a

与分母

b

之和为

15

则称该分数为特殊分数，分数不必是最简形式。有多少个不同的整数可以表示为两个特殊分数之和？这两个分数可以相同。

Call a fraction

\dfrac{a}{b},

not necessarily in the simplest form, special if

a

and

b

are positive integers whose sum is

15.

How many distinct integers can be written as the sum of two, not necessarily different, special fractions?

9

10

11

12

13

答案：C

知识点：分数分类讨论

难度评级：1400

小提示：

列出所有特殊分数，并注意其中哪些是整数、哪些是半整数、哪些是四分之一整数。

List the special fractions and note which are integers, half-integers, or quarter-integers

大提示：

两个特殊分数之和为整数时，它们的小数部分之和也必须为整数。

Two specials sum to an integer only when their fractional parts cancel

解答：

对

1\le a\le14

逐一列出

\frac{a}{15-a}

：其中的整数是

2,4,14

；小数部分为

\frac{1}{2}

的分数是

\tfrac12,\tfrac32,\tfrac{13}{2}

；而

\tfrac14,\tfrac{11}{4}

的小数部分互补，分别为

\frac{1}{4},\frac{3}{4}

。

其余的小数部分是

\frac{1}{14},\frac{2}{13},\frac{4}{11},\frac{2}{3},\frac{7}{8},\frac{1}{7}

，而它们各自的补数都没有出现。因此只有整数、半整数和四分之一这三类才可能凑出整数和。

整数对给出

4, 6, 8, 16, 18, 28

。半整数对

\left(\tfrac12, \tfrac32, \tfrac{13}{2}\right)

给出

1, 2, 3, 7, 8, 13

。四分之一型的一对

\tfrac14 + \tfrac{11}{4}

给出

3

。

去重后得到

1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 13, 16, 18, 28

共

11

个不同整数。

所以正确答案是 C。

Listing

\frac{a}{15-a}

for

1\le a\le14,

the integers are

2,4,14;

the fractions with fractional part

\frac{1}{2}

are

\tfrac12,\tfrac32,\tfrac{13}{2};

and

\tfrac14,\tfrac{11}{4}

have complementary fractional parts

\frac{1}{4},\frac{3}{4}.

The remaining fractional parts are

\frac{1}{14},\frac{2}{13},\frac{4}{11},\frac{2}{3},\frac{7}{8},\frac{1}{7},

and none of their complements occurs. Thus only the integer, half-integer, and quarter cases can give integer sums.

Integer pairs give

4, 6, 8, 16, 18, 28.

Half-integer pairs

\left(\tfrac12, \tfrac32, \tfrac{13}{2}\right)

give

1, 2, 3, 7, 8, 13.

The quarter pair

\tfrac14 + \tfrac{11}{4}

gives

3.

The distinct integers are

1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 13, 16, 18, 28,

a total of

11.

Thus, the correct answer is C.

2021 AMC 12B Fall 第 5 题

答案：C

难度评级：1400

小提示：

大提示：

解答：

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