Question

对实数 $a$ 和 $b$ 在什么条件下 $\sqrt{a^2 + b^2} = a + b$ 成立？

Under what conditions is $\sqrt{a^2 + b^2} = a + b$ true, where $a$ and $b$ are real numbers?

它永远不成立。

It is never true.

它成立当且仅当 $ab = 0$ 。

It is true if and only if $ab = 0.$

它成立当且仅当 $a + b \ge 0$ 。

It is true if and only if $a + b \ge 0.$

它成立当且仅当 $ab = 0$ 且 $a + b \ge 0$ 。

It is true if and only if $ab = 0$ and $a + b \ge 0.$

它总是成立。

It is always true.

答案：D

知识点：根式代数变形

难度评级：1200

解答：

因为 $\sqrt{a^2+b^2}$ 从不为负，等式成立必须有 $a + b \ge 0$ 。两边平方得 $a^2 + b^2 = (a+b)^2$ $= a^2 + 2ab + b^2$ ，化简为 $2ab = 0$ ，即 $ab = 0$ 。

反过来，如果 $ab = 0$ ，则 $a^2 + b^2 = (a+b)^2$ ；如果还满足 $a + b \ge 0$ ，那么 $\sqrt{a^2+b^2} = |a+b| = a+b$ 。所以这两个条件合在一起正好是所需条件。

因此，正确答案是 D。

Because $\sqrt{a^2+b^2}$ is never negative, equality requires $a + b \ge 0.$ Squaring both sides gives $a^2 + b^2 = (a+b)^2$ $= a^2 + 2ab + b^2,$ which simplifies to $2ab = 0,$ i.e. $ab = 0.$

Conversely, if $ab = 0$ then $a^2 + b^2 = (a+b)^2,$ and if additionally $a + b \ge 0$ then $\sqrt{a^2+b^2} = |a+b| = a+b.$ So both conditions together are exactly what is needed.

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12A Spring 第 2 题

答案：D

难度评级：1200

解答：

其他年份的第 2 题