Question

实数 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 满足不等式

$0 \lt x \lt 1, \quad -1 \lt y \lt 0\text{，}$ 以及 $1 \lt z \lt 2\text{。}$

下列哪个数一定为正？

Real numbers $x,$ $y,$ and $z$ satisfy the inequalities

$0 \lt x \lt 1, \quad -1 \lt y \lt 0,$ and $1 \lt z \lt 2.$

Which of the following numbers is necessarily positive?

$y + x^2$

$y + xz$

$y + y^2$

$y + 2y^2$

$y + z$

答案：E

知识点：不等式反例

难度评级：1020

小提示：

因为 $y \gt -1$ 且 $z \gt 1$ ，你能推出 $y + z$ 有什么性质？

Since $y \gt -1$ and $z \gt 1,$ what can you say about $y + z?$

大提示：

对其他四个选项，试用 $x = \tfrac18$ ， $y = -\tfrac14$ ， $z = \tfrac32$ 使其为负

For the other four, try $x = \tfrac18,$ $y = -\tfrac14,$ $z = \tfrac32$ to force a negative value

解答：

将 $y \gt -1$ 与 $z \gt 1$ 相加，得到 $y + z \gt 0$ ，所以 $y + z$ 总是正数。其他四个选项都可以取负值：当 $x = \tfrac18$ ， $y = -\tfrac14$ ， $z = \tfrac32$ 时， $y + x^2$ ， $y + xz$ ， $y + y^2$ ，和 $y + 2y^2$ 都为负。

所以正确答案是 E。

Adding $y \gt -1$ and $z \gt 1$ gives $y + z \gt 0,$ so $y + z$ is always positive. Each of the other four choices can be made negative: with $x = \tfrac18,$ $y = -\tfrac14,$ $z = \tfrac32,$ every one of $y + x^2,$ $y + xz,$ $y + y^2,$ and $y + 2y^2$ is negative.

Thus, the correct answer is E.

2017 AMC 12B 第 2 题

答案：E

难度评级：1020

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 2 题