Question

过三角形 $ABC$ 内一点 $P$ 作一条平行于底边 $\overline{AB}$ 的直线，将三角形分成面积相等的两部分。若 $\overline{AB}$ 边上的高为 $1$ ，则点 $P$ 到 $\overline{AB}$ 的距离为：

Through a point $P$ inside triangle $ABC$ a line is drawn parallel to the base $\overline{AB},$ dividing the triangle into two equal areas. If the altitude to $\overline{AB}$ has length $1,$ then the distance from $P$ to $\overline{AB}$ is:

$\dfrac12$

$\dfrac14$

$2-\sqrt2$

$\dfrac{2-\sqrt2}{2}$

$\dfrac{2+\sqrt2}{8}$

答案：D

知识点：相似面积比高线

难度评级：1360

小提示：

设 $P$ 到底边的距离为 $x$

Let $x$ be the distance from $P$ to the base

大提示：

平行线上方小三角形的高为 $1-x$ ，面积为原三角形的一半

The small triangle above the parallel line has altitude $1-x$ and half the original area

解答：

设所求距离为 $x$ 。平行线上方的三角形与原三角形相似，线性比为 $1-x$ 。其面积为原三角形的一半，所以 $(1-x)^2=\frac12\text{。}$ 因为 $0\lt x\lt1$ ，所以 $1-x=\frac{1}{\sqrt2}$ ，从而 $x=1-\frac1{\sqrt2}=\frac{2-\sqrt2}{2}\text{。}$

因此，正确答案是 D。

Let $x$ be the requested distance. The triangle above the parallel line is similar to the original triangle, with linear ratio $1-x.$ Its area is half the original area, so $(1-x)^2=\frac12.$ Since $0\lt x\lt1,$ we have $1-x=\frac{1}{\sqrt2},$ and therefore $x=1-\frac1{\sqrt2}=\frac{2-\sqrt2}{2}.$

Therefore, the correct answer is D.

1959 AMC 12 第 2 题

答案：D

难度评级：1360

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 2 题