2008 AMC 12A 第 5 题

Question

假设

\dfrac{2x}{3} - \dfrac{x}{6}

是整数。下列关于

x

的说法哪一个一定正确？

Suppose that

\dfrac{2x}{3} - \dfrac{x}{6}

is an integer. Which of the following statements must be true about

x?

它是负数。

It is negative.

它是偶数，但不一定是

3

的倍数。

It is even, but not necessarily a multiple of

3.

它是

3

的倍数，但不一定是偶数。

It is a multiple of

3,

but not necessarily even.

它是

6

的倍数，但不一定是

12

的倍数。

It is a multiple of

6,

but not necessarily a multiple of

12.

它是

12

的倍数。

It is a multiple of

12.

答案：B

知识点：代数变形奇偶性

难度评级：1100

小提示：

把两个分数通分合并。

Combine the two fractions over a common denominator

大提示：

化简为

\dfrac{x}{2}

，再判断它在什么整除条件下是整数。

Simplify to

\dfrac{x}{2},

then decide what divisibility condition makes this an integer

解答：

通分合并可得

\dfrac{2x}{3} - \dfrac{x}{6} = \dfrac{4x - x}{6} = \dfrac{x}{2}\text{。}

该式为整数当且仅当

x

是偶数。例如

x = 4

是偶数但不是

3

的倍数，这就排除了其余每一个说法。

所以正确答案是 B。

Combining the fractions,

\dfrac{2x}{3} - \dfrac{x}{6} = \dfrac{4x - x}{6} = \dfrac{x}{2}.

This is an integer exactly when

x

is even. The example

x = 4

is even but not a multiple of

3,

which rules out every other statement.

Thus, B is the correct answer.

2008 AMC 12A 第 5 题

答案：B

难度评级：1100

小提示：

大提示：

解答：

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