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1983 AMC 12 第 5 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

5.

三角形 ABCABC 在 CC 处为直角。若 sin⁡A=23\sin A=\frac23，则 tan⁡B\tan B 为

Triangle ABCABC has a right angle at C.C. If sin⁡A=23,\sin A=\frac23, then tan⁡B\tan B is

35\frac35

53\frac{\sqrt5}{3}

25\frac{2}{\sqrt5}

52\frac{\sqrt5}{2}

53\frac53

答案：D
知识点：三角学直角三角形角度和
难度评级：1330
小提示：

角 AA 与 BB 互余

Angles AA and BB are complementary

大提示：

利用 cos⁡A=1−sin⁡2A\cos A=\sqrt{1-\sin^2A} 和 tan⁡B=cot⁡A\tan B=\cot A

Use cos⁡A=1−sin⁡2A\cos A=\sqrt{1-\sin^2A} and tan⁡B=cot⁡A\tan B=\cot A

解答：

由于 sin⁡A=23\sin A=\frac{2}{3}，所以 cos⁡A=1−49=53\cos A=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt5}{3}。又因 B=90∘−AB=90^\circ-A，有 tan⁡B=cot⁡A\tan B=\cot A，并且 cos⁡Asin⁡A=52\frac{\cos A}{\sin A}=\frac{\sqrt5}{2}。

所以正确答案是 D。

Since sin⁡A=23,\sin A=\frac{2}{3}, cos⁡A=1−49=53.\cos A=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt5}{3}. Because B=90∘−A,B=90^\circ-A, we have tan⁡B=cot⁡A\tan B=\cot A and cos⁡Asin⁡A=52.\frac{\cos A}{\sin A}=\frac{\sqrt5}{2}.

Therefore, the correct answer is D.

第 4 题#4
完整试卷
第 6 题#6

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