Respuesta: 156

Solución:

Coloquemos $B = (0,0),$ $C = (14,0),$ $A = (5,12).$ El circuncentro está sobre $x = 7,$ y al igualar las distancias a $B$ y $A$ se obtiene $O = \left(7, \frac{33}{8}\right).$ La dirección de $\overline{AC}$ es $C - A = (9, -12),$ paralela a $(3, -4).$ Una rotación de ángulo $\varphi$ hace vertical a $\overline{A'C'}$ exactamente cuando lleva $(3,-4)$ a $(0, \pm 5),$ así que $(\cos\varphi, \sin\varphi) = \left(\frac{4}{5}, -\frac{3}{5}\right)$ o $\left(-\frac{4}{5}, \frac{3}{5}\right).$ Usamos el producto cruzado escalar para comprobar los lados de la recta dirigida $B'C'.$ Para la primera rotación, $$\begin{aligned} (C'-B') \times (A'-B') &= 168, \\ (C'-B') \times (B-B') &= -\frac{189}{4}, \end{aligned}$$ mientras que para la segunda estas cantidades son $168$ y $\frac{651}{4},$ respectivamente. Por tanto, $A'$ y $B$ están en lados opuestos solo para $\cos\varphi = \frac{4}{5},$ $\sin\varphi = -\frac{3}{5}.$

Con esta rotación, $P' = O + R(P - O)$ da $$A' = \left(\tfrac{81}{8}, \tfrac{93}{8}\right),$$ $$B' = \left(-\tfrac{43}{40}, \tfrac{201}{40}\right),$$ $$C' = \left(\tfrac{81}{8}, -\tfrac{27}{8}\right).$$ Por ejemplo, $A - O = \left(-2, \tfrac{63}{8}\right)$ gira a $\left(\tfrac{25}{8}, \tfrac{15}{2}\right),$ dando $A' = \left(\tfrac{81}{8}, \tfrac{93}{8}\right).$

El hexágono $A A' C C' B B'$ es simple con estos vértices en orden, así que la fórmula del cordón para $(5,12),$ $\left(\tfrac{81}{8}, \tfrac{93}{8}\right),$ $(14,0),$ $\left(\tfrac{81}{8}, -\tfrac{27}{8}\right),$ $(0,0),$ $\left(-\tfrac{43}{40}, \tfrac{201}{40}\right)$ da el área $\frac{1557}{10} = 155.7.$ El entero más cercano es $156.$