Question

Halla el menor entero positivo $m$ tal que $m^2 - m + 11$ sea un producto de al menos cuatro primos no necesariamente distintos.

Find the least positive integer $m$ such that $m^2 - m + 11$ is a product of at least four not necessarily distinct primes.

Respuesta

Respuesta: 132

Conceptos:factorización en primos aritmética modular acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 3160

Solución:

Sea $e(m) = m^2 - m + 11.$ Como $m^2 - m$ es siempre par, $e(m)$ es impar. Verificar todos los residuos muestra que $m^2 - m + 11$ tampoco es nunca $0$ módulo $3,$ $5,$ o $7,$ así que cada factor primo de $e(m)$ es al menos $11.$ Un producto de cuatro primos así es al menos $11^4 = 14641,$ y los dos candidatos más pequeños son $11^4$ y $11^3 \cdot 13 = 17303.$

Para $e(m) = 14641,$ el discriminante de $m^2 - m - 14630 = 0$ es $58521,$ que está estrictamente entre $241^2 = 58081$ y $242^2 = 58564,$ así que no hay solución entera. Para $e(m) = 17303:$ como $e(m) = m(m - 1) + 11$ debe ser divisible por $11,$ o bien $m = 11k$ o $m = 11k + 1.$ Probar $m = 11k$ da $11k^2 - k + 1 = 1573,$ es decir $k(11k - 1) = 1572,$ que $k = 12$ satisface: $12 \cdot 131 = 1572.$

Como $e$ es creciente para $m \ge 1,$ todo $m$ más pequeño tiene $e(m) \lt 17303,$ y el único valor de cuatro primos por debajo de eso, $11^4,$ es inalcanzable. Por lo tanto el menor $m$ es $11 \cdot 12 = 132,$ donde $e(132) = 17303 = 11^3 \cdot 13.$

Let $e(m) = m^2 - m + 11.$ Since $m^2 - m$ is always even, $e(m)$ is odd. Checking all residues shows $m^2 - m + 11$ is never $0$ modulo $3,$ $5,$ or $7$ either, so every prime factor of $e(m)$ is at least $11.$ A product of four such primes is at least $11^4 = 14641,$ and the two smallest candidates are $11^4$ and $11^3 \cdot 13 = 17303.$

For $e(m) = 14641,$ the discriminant of $m^2 - m - 14630 = 0$ is $58521,$ which lies strictly between $241^2 = 58081$ and $242^2 = 58564,$ so there is no integer solution. For $e(m) = 17303:$ since $e(m) = m(m - 1) + 11$ must be divisible by $11,$ either $m = 11k$ or $m = 11k + 1.$ Trying $m = 11k$ gives $11k^2 - k + 1 = 1573,$ that is $k(11k - 1) = 1572,$ which $k = 12$ satisfies: $12 \cdot 131 = 1572.$

Since $e$ is increasing for $m \ge 1,$ every smaller $m$ has $e(m) \lt 17303,$ and the only four-prime value below that, $11^4,$ is unattainable. Hence the least $m$ is $11 \cdot 12 = 132,$ where $e(132) = 17303 = 11^3 \cdot 13.$

2016 AIME I Problema 12

Respuesta: 132

Nivel de dificultad: 3160

Solución:

El Problema 12 en otros años