Question

Sea $ABC$ equilátero, y sean $D,$ $E,$ y $F$ los puntos medios de $\overline{BC},$ $\overline{CA},$ y $\overline{AB},$ respectivamente. Existen puntos $P,$ $Q,$ y $R$ sobre $\overline{DE},$ $\overline{EF},$ y $\overline{FD},$ respectivamente, con la propiedad de que $P$ está en $\overline{CQ},$ $Q$ está en $\overline{AR},$ y $R$ está en $\overline{BP}.$ La razón entre el área del triángulo $ABC$ y el área del triángulo $PQR$ es $a + b\sqrt{c},$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros, y $c$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. ¿Cuánto vale $a^2 + b^2 + c^2$ ?

Let $ABC$ be equilateral, and $D,$ $E,$ and $F$ be the midpoints of $\overline{BC},$ $\overline{CA},$ and $\overline{AB},$ respectively. There exist points $P,$ $Q,$ and $R$ on $\overline{DE},$ $\overline{EF},$ and $\overline{FD},$ respectively, with the property that $P$ is on $\overline{CQ},$ $Q$ is on $\overline{AR},$ and $R$ is on $\overline{BP}.$ The ratio of the area of triangle $ABC$ to the area of triangle $PQR$ is $a + b\sqrt{c},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are integers, and $c$ is not divisible by the square of any prime. What is $a^2 + b^2 + c^2?$

Respuesta

Respuesta: 83

Conceptos:triángulo equilátero geometría analítica razón de áreas simetría

Nivel de dificultad: 2990

Solución:

Coloquemos $A = (0, \sqrt{3}),$ $B = (-1, 0),$ $C = (1, 0),$ de modo que $D = (0, 0),$ $E = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right),$ $F = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right).$ Escribamos $P=D+x(E-D),$ $Q=E+y(F-E),$ y $R=F+z(D-F),$ donde $0\le x,y,z\le1.$ Al calcular los tres productos cruzados bidimensionales, las colinealidades $C,P,Q;$ $A,Q,R;$ y $B,R,P$ dan, respectivamente, $\begin{gathered} x(1+y)=1,\\ y(1+z)=1,\\ z(1+x)=1. \end{gathered}$

Sea $f(u)=\frac{1}{1+u}.$ Las ecuaciones dicen $x=f(y),$ $y=f(z),$ y $z=f(x),$ así que $x=f(f(f(x)))=\frac{x+2}{2x+3}.$ Por tanto, $x^2+x-1=0,$ y la positividad da $x=\frac{\sqrt5-1}{2}.$ Las ecuaciones obligan entonces a que $y=z=x;$ llamemos $t$ a este valor común. Así, la configuración buscada es realmente simétrica y no se ha supuesto que lo fuera.

Con $P = \left(\frac{t}{2}, \frac{t\sqrt{3}}{2}\right)$ y $Q = \left(\frac{1}{2} - t, \frac{\sqrt{3}}{2}\right),$ ambos triángulos son equiláteros y tienen centro $G = \left(0, \frac{\sqrt{3}}{3}\right).$ Por tanto, la razón de áreas es $\frac{GA^2}{GP^2}.$ Usando $t^2 = 1 - t,$ $\begin{aligned} GP^2 &= \frac{t^2}{4} + 3\left(\frac{t}{2} - \frac{1}{3}\right)^2 \\ &= t^2 - t + \frac{1}{3} \\ &= \frac{7}{3} - \sqrt{5}, \\ GA^2 &= \frac{4}{3}. \end{aligned}$

Por consiguiente, $\begin{aligned} \frac{[ABC]}{[PQR]} &= \frac{4/3}{7/3 - \sqrt{5}} \\ &= \frac{4}{7 - 3\sqrt{5}} \\ &= 7 + 3\sqrt{5}, \end{aligned}$ así que $a = 7,$ $b = 3,$ $c = 5,$ y $a^2 + b^2 + c^2 = 49 + 9 + 25 = 83.$

Place $A = (0, \sqrt{3}),$ $B = (-1, 0),$ $C = (1, 0),$ so $D = (0, 0),$ $E = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right),$ $F = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right).$ Write $P=D+x(E-D),$ $Q=E+y(F-E),$ and $R=F+z(D-F),$ where $0\le x,y,z\le1.$ Computing the three two-dimensional cross products, the collinearities $C,P,Q;$ $A,Q,R;$ and $B,R,P$ give, respectively, $\begin{gathered} x(1+y)=1,\\ y(1+z)=1,\\ z(1+x)=1. \end{gathered}$

Let $f(u)=\frac{1}{1+u}.$ The equations say $x=f(y),$ $y=f(z),$ and $z=f(x),$ so $x=f(f(f(x)))=\frac{x+2}{2x+3}.$ Hence $x^2+x-1=0,$ and positivity gives $x=\frac{\sqrt5-1}{2}.$ The equations then force $y=z=x;$ call this common value $t.$ Thus the desired configuration really is the symmetric one, rather than merely being assumed to be.

With $P = \left(\frac{t}{2}, \frac{t\sqrt{3}}{2}\right)$ and $Q = \left(\frac{1}{2} - t, \frac{\sqrt{3}}{2}\right),$ both triangles are equilateral with center $G = \left(0, \frac{\sqrt{3}}{3}\right).$ Therefore the area ratio is $\frac{GA^2}{GP^2}.$ Using $t^2 = 1 - t,$ $\begin{aligned} GP^2 &= \frac{t^2}{4} + 3\left(\frac{t}{2} - \frac{1}{3}\right)^2 \\ &= t^2 - t + \frac{1}{3} \\ &= \frac{7}{3} - \sqrt{5}, \\ GA^2 &= \frac{4}{3}. \end{aligned}$

Hence $\begin{aligned} \frac{[ABC]}{[PQR]} &= \frac{4/3}{7/3 - \sqrt{5}} \\ &= \frac{4}{7 - 3\sqrt{5}} \\ &= 7 + 3\sqrt{5}, \end{aligned}$ so $a = 7,$ $b = 3,$ $c = 5,$ and $a^2 + b^2 + c^2 = 49 + 9 + 25 = 83.$

1998 AIME Problema 12

Respuesta: 83

Nivel de dificultad: 2990

Solución:

El Problema 12 en otros años