Question

Alguien observó que

6!=8\cdot9\cdot10.

Halla el mayor entero positivo

n

para el cual

n!

puede expresarse como el producto de

n-3

enteros positivos consecutivos.

Someone observed that

6!=8\cdot9\cdot10.

Find the largest positive integer

n

for which

n!

can be expressed as the product of

n-3

consecutive positive integers.

Respuesta

Respuesta: 23

Conceptos:factorial acotación a casos límite desigualdad

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Compara

n!

con los productos de

n-3

enteros consecutivos que comienzan en

4

y en

5

Compare

n!

with products of

n-3

consecutive integers beginning at

4

and at

5

Pista grande:

El producto que comienza en

5

es igual a

\frac{(n+1)!}{4!}

The product beginning at

5

equals

\frac{(n+1)!}{4!}

Solución:

Los

n-3

enteros consecutivos que comienzan en

4

tienen producto

4\cdot5\cdots n=\frac{n!}{6},

mientras que los que comienzan en

5

tienen producto

\begin{aligned}5\cdot6\cdots(n+1)&=\frac{(n+1)!}{24}\\&=\frac{n+1}{24}n!.\end{aligned}

Para

n=23,

el segundo producto es igual a

n!,

así que

23

funciona. Para todo

n\geq24,

el producto que comienza en

4

es menor que

n!,

el que comienza en

5

es mayor que

n!,

y el producto aumenta estrictamente con su término inicial. Por consiguiente, ningún

n\geq24

funciona y el mayor valor posible es

23.

The

n-3

consecutive integers beginning at

4

have product

4\cdot5\cdots n=\frac{n!}{6},

while those beginning at

5

have product

\begin{aligned}5\cdot6\cdots(n+1)&=\frac{(n+1)!}{24}\\&=\frac{n+1}{24}n!.\end{aligned}

For

n=23,

the latter product equals

n!,

so

23

works. For every

n\geq24,

the product beginning at

4

is below

n!,

the product beginning at

5

is above

n!,

and the product strictly increases with its initial term. Hence no

n\geq24

works, and the largest possible value is

23.

1990 AIME Problema 11

Respuesta: 23

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años