Question

有多少个常数 $k$ ，使多项式 $x^2 + kx + 36$ 有两个不同的整数根？

For how many values of the constant $k$ will the polynomial $x^2 + kx + 36$ have two distinct integer roots?

$6$

$8$

$9$

$14$

$16$

答案：B

知识点：韦达定理因数系统列举

难度评级：1200

解答：

若整数根为 $p$ 和 $q$ 则 $pq = 36$ ，且 $k = -(p+q)$ 不同的根必须满足同号，所以列出 $36$ 的因子对，并要求 $p \ne q$ 。

正因子对为 $(1,36), (2,18), (3,12), (4,9)$ 负因子对为 $(-1,-36)$ $(-2,-18)$ $(-3,-12)$ $(-4,-9)$ 因为要求两根不同，排除 $(6,6)$ 。

这 $8$ 个因子对各给出一个不同的 $k$ 值。

所以正确答案是 B。

If the roots are integers $p$ and $q,$ then $pq = 36$ and $k = -(p+q).$ Distinct roots must have the same sign, so we list factor pairs of $36$ with $p \ne q.$

The positive pairs are $(1,36), (2,18), (3,12), (4,9),$ and the negative pairs are $(-1,-36),$ $(-2,-18),$ $(-3,-12),$ $(-4,-9).$ The pair $(6,6)$ is excluded since the roots must be distinct.

Each of these $8$ pairs gives a different value of $k.$

Thus, the correct answer is B.

2022 AMC 12B 第 4 题

答案：B

难度评级：1200

解答：

其他年份的第 4 题