2022 AMC 12A 第 5 题

Question

在坐标平面中，点

(x_1,y_1)

与

(x_2,y_2)

的出租车距离定义为

|x_1-x_2|+|y_1-y_2|

。有多少个整数坐标点

P

，使得

P

到原点的出租车距离小于或等于

20

？

Let the taxicab distance between points

(x_1,y_1)

and

(x_2,y_2)

in the coordinate plane be given by

|x_1-x_2|+|y_1-y_2|.

For how many points

P

with integer coordinates is the taxicab distance between

P

and the origin less than or equal to

20?

441

761

841

921

924

答案：C

知识点：格点等差数列

难度评级：1350

小提示：

分别计数每个“菱形”

|x|+|y|=k

上的格点

Count the lattice points on each “diamond”

|x|+|y|=k

separately

大提示：

当

k\ge1

时，

|x|+|y|=k

上有

4k

个点，另外还有原点

There are

4k

points with

|x|+|y|=k

for

k\ge1,

plus the origin

解答：

对每个

k\ge1

，集合

|x|+|y|=k

恰有

4k

个格点，而

k=0

时只有原点一个点。

总数为

\begin{aligned} &1+\sum_{k=1}^{20}4k=1+4\cdot\frac{20\cdot21}{2} \\ &=1+840=841 \end{aligned}\text{。}

因此，正确答案是 C。

For each

k\ge1,

the set

|x|+|y|=k

contains exactly

4k

lattice points, and

k=0

gives the single origin.

The total is

\begin{aligned} &1+\sum_{k=1}^{20}4k=1+4\cdot\frac{20\cdot21}{2} \\ &=1+840=841. \end{aligned}

Thus, the correct answer is C.

2022 AMC 12A 第 5 题

答案：C

难度评级：1350

小提示：

大提示：

解答：

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