2021 AMC 12B Spring 第 5 题

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5.

xy

平面中的点

P(a,b)

先绕点

(1,5)

逆时针旋转

90^\circ

，再关于直线

y=-x

反射。经过这两个变换后，

P

的像为

(-6,3)

。

b-a

是多少？

The point

P(a,b)

in the

xy

-plane is first rotated counterclockwise by

90^\circ

around the point

(1,5)

and then reflected about the line

y=-x.

The image of

P

after these two transformations is at

(-6,3).

What is

b-a?

1

3

5

7

9

答案：D

知识点：变换逆推法

难度评级：1330

小提示：

反向撤销变换：把

(-6,3)

关于

y=-x

反射，可以撤销最后一步

Undo the transformations: reflecting

(-6,3)

about

y=-x

reverses the last step

大提示：

关于

y=-x

反射把

(x,y)

变为

(-y,-x)

；绕

(1,5)

旋转

90^\circ

把

(a,b)

变为

(6-b,\,4+a)

Reflecting

(x,y)

about

y=-x

gives

(-y,-x);

a

90^\circ

rotation about

(1,5)

sends

(a,b)

to

(6-b,\,4+a)

解答：

绕

(1,5)

逆时针旋转

90^\circ

会把

(a,b)

变为

(1-(b-5),\,5+(a-1))

=(6-b,\,4+a)

。

再关于

y=-x

反射（即把

(x,y)

变为

(-y,-x)

），得到

(-(4+a),\,-(6-b))

=(-4-a,\,b-6)

。

令它等于

(-6,3)

，得

-4-a=-6

且

b-6=3

，所以

a=2

，

b=9

。

因此

b-a=9-2=7

。

所以正确答案是 D。

A

90^\circ

counterclockwise rotation about

(1,5)

sends

(a,b)

to

(1-(b-5),\,5+(a-1))

=(6-b,\,4+a).

Reflecting that about

y=-x

(which maps

(x,y)

to

(-y,-x)

) gives

(-(4+a),\,-(6-b))

=(-4-a,\,b-6).

Setting this equal to

(-6,3)

gives

-4-a=-6

and

b-6=3,

so

a=2

and

b=9.

Therefore

b-a=9-2=7.

Thus, the correct answer is D.

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