2002 AMC 12B 第 4 题

Question

设

n

为正整数，且

\dfrac12+\dfrac13+\dfrac17+\dfrac1n

是整数。下列哪一个说法不正确？

Let

n

be a positive integer such that

\dfrac12+\dfrac13+\dfrac17+\dfrac1n

is an integer. Which of the following statements is not true:

2

整除

n

2

divides

n

3

整除

n

3

divides

n

6

整除

n

6

divides

n

7

整除

n

7

divides

n

n\gt84

答案：E

知识点：分数整除性极限情形界定

难度评级：1270

小提示：

\dfrac12+\dfrac13+\dfrac17=\dfrac{41}{42}

。

\dfrac12+\dfrac13+\dfrac17=\dfrac{41}{42}

大提示：

整个和严格在

0

和

2

之间，所以它必须等于

1

；解出

n

。

The whole sum lies strictly between

0

and

2,

so it must equal

1

; solve for

n

解答：

因为

\dfrac12+\dfrac13+\dfrac17=\dfrac{41}{42}

，所以和

\dfrac{41}{42}+\dfrac1n

严格在

0

和

2

之间，作为整数只能是

1

。于是

\dfrac1n=\dfrac1{42}

得到

n=42

。

现在

2

、

3

、

6

、

7

都整除

42

，但

n\gt84

是假的。因此不正确的说法是

n\gt84

。

所以正确答案是 E。

Since

\dfrac12+\dfrac13+\dfrac17=\dfrac{41}{42},

the sum

\dfrac{41}{42}+\dfrac1n

lies strictly between

0

and

2,

so it must equal

1.

Then

\dfrac1n=\dfrac1{42},

giving

n=42.

Now

2,

3,

6,

and

7

all divide

42,

but

n\gt84

is false. The untrue statement is

n\gt84.

Thus, the correct answer is E.

2002 AMC 12B 第 4 题

答案：E

难度评级：1270

小提示：

大提示：

解答：

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