Respuesta: 132

Solución:

Las raíces de la cúbica son $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2.$ Fijemos raíces cuadradas $s_1, s_2, s_3$; entonces $\alpha + \beta + \gamma$ recorre las ocho expresiones $\pm s_1 \pm s_2 \pm s_3,$ que forman cuatro pares $\pm v.$ En general, las ocho son distintas. Su producto es no nulo porque el término constante de la cúbica es $-400,$ así que cada $s_i$ es no nulo. Una coincidencia $v(\varepsilon) = v(\varepsilon')$ entre elecciones no opuestas debe diferir en dos signos y obliga a $s_i = \pm s_j$ para algún $i \ne j,$ lo que reduce los ocho valores a lo sumo a seis. Por tanto, aparecen exactamente siete valores precisamente cuando alguna elección satisface $\pm s_1 \pm s_2 \pm s_3 = 0$ —su opuesta da entonces el mismo valor $0$— y no hay más degeneraciones.

Esta condición es que se anule $$\begin{aligned} &(s_1 + s_2 + s_3)(-s_1 + s_2 + s_3) \\ &\quad {}\cdot (s_1 - s_2 + s_3)(s_1 + s_2 - s_3) \\ &= 2\sum_{i \lt j} r_i r_j - \sum_i r_i^2 \\ &= 4e_2 - e_1^2, \end{aligned}$$ donde $r_i = s_i^2$ son las raíces y $e_1, e_2$ sus funciones simétricas elementales. Por las fórmulas de Vieta, $e_1 = \frac{n}{6}$ y $e_2 = n - 11,$ así que $\frac{n^2}{36} = 4(n - 11),$ es decir, $n^2 - 144n + 1584 = 0,$ con raíces $n = 12$ y $n = 132.$

Para $n = 132$, la cúbica se factoriza como $$(x - 16)(x^2 - 6x + 25),$$ con raíces distintas $16,$ $3 + 4i,$ y $3 - 4i.$ Elijamos sus raíces cuadradas como $4,$ $2 + i,$ y $2 - i;$ entonces $4 - (2+i) - (2-i) = 0.$ Las ocho elecciones de signos dan $0$ dos veces y los seis valores no nulos distintos $\pm 8,$ $\pm(4+2i),$ $\pm(4-2i),$ así que aparecen exactamente siete sumas. El mayor entero de este tipo es $132.$