Question

Para un número real $a,$ sea $\lfloor a \rfloor$ el mayor entero menor o igual que $a.$ Sea $\mathcal{R}$ la región del plano coordenado formada por los puntos $(x, y)$ tales que La región $\mathcal{R}$ está completamente contenida en un disco de radio $r$ (un disco es la unión de un círculo y su interior). El valor mínimo de $r$ puede escribirse como $\frac{\sqrt{m}}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros y $m$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halle $m + n.$ $\lfloor x \rfloor^2 + \lfloor y \rfloor^2 = 25.$

For a real number $a,$ let $\lfloor a \rfloor$ denote the greatest integer less than or equal to $a.$ Let $\mathcal{R}$ denote the region in the coordinate plane consisting of points $(x, y)$ such that $\lfloor x \rfloor^2 + \lfloor y \rfloor^2 = 25.$ The region $\mathcal{R}$ is completely contained in a disk of radius $r$ (a disk is the union of a circle and its interior). The minimum value of $r$ can be written as $\frac{\sqrt{m}}{n},$ where $m$ and $n$ are integers and $m$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 132

Conceptos:funciones piso y techo punto reticular fórmula de la distancia simetría

Nivel de dificultad: 2840

Solución:

Como $\lfloor x \rfloor$ y $\lfloor y \rfloor$ son enteros cuyos cuadrados suman $25,$ el par $(\lfloor x \rfloor, \lfloor y \rfloor)$ es uno de los $12$ pares $(\pm 5, 0),$ $(0, \pm 5),$ $(\pm 3, \pm 4),$ $(\pm 4, \pm 3).$ Por tanto, $\mathcal{R}$ es la unión de los $12$ cuadrados unitarios cuyas esquinas inferiores izquierdas son esos puntos.

Sea $K$ la clausura de $\mathcal{R}.$ Todo disco cerrado que contiene a $\mathcal{R}$ también contiene a $K,$ así que ambos conjuntos tienen el mismo radio mínimo de cobertura. La aplicación $(x, y) \mapsto (1 - x, 1 - y)$ permuta los cuadrados unitarios cerrados de $K,$ por lo que $K$ es simétrico bajo una rotación de $180^\circ$ alrededor de $Q = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right).$ Si $X \in K,$ su punto opuesto $X' = 2Q-X$ también está en $K.$ Todo disco que contiene ambos extremos de $\overline{XX'}$ tiene radio al menos $\frac{XX'}{2} = XQ.$ Por tanto, ningún disco envolvente puede tener radio menor que la mayor distancia de $Q$ a $K.$

Esa mayor distancia se alcanza en esquinas como $A = (4, 5)$ y $B = (5, 4),$ y al revisar las esquinas de los doce cuadrados cerrados se obtiene $\begin{aligned} QA = QB &= \sqrt{\left(\tfrac{9}{2}\right)^2 + \left(\tfrac{7}{2}\right)^2} \\ &= \frac{\sqrt{130}}{2}. \end{aligned}$ El disco centrado en $Q$ con este radio contiene cada cuadrado, así que alcanza la cota inferior.

Por tanto, el radio mínimo es $r = \frac{\sqrt{130}}{2},$ y $m + n = 130 + 2 = 132.$

Since $\lfloor x \rfloor$ and $\lfloor y \rfloor$ are integers whose squares sum to $25,$ the pair $(\lfloor x \rfloor, \lfloor y \rfloor)$ is one of the $12$ pairs $(\pm 5, 0),$ $(0, \pm 5),$ $(\pm 3, \pm 4),$ $(\pm 4, \pm 3).$ So $\mathcal{R}$ is the union of the $12$ unit squares whose lower-left corners are these points.

Let $K$ be the closure of $\mathcal{R}.$ Any closed disk containing $\mathcal{R}$ also contains $K,$ so the two sets have the same minimum enclosing radius. The map $(x, y) \mapsto (1 - x, 1 - y)$ permutes the closed unit squares in $K,$ so $K$ is symmetric under $180^\circ$ rotation about $Q = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right).$ If $X \in K,$ its opposite point $X' = 2Q-X$ also lies in $K.$ Every disk containing both endpoints of $\overline{XX'}$ has radius at least $\frac{XX'}{2} = XQ.$ Thus no enclosing disk can have radius smaller than the greatest distance from $Q$ to $K.$

That greatest distance is attained at square corners such as $A = (4, 5)$ and $B = (5, 4),$ and checking the corners of all twelve closed squares gives $\begin{aligned} QA = QB &= \sqrt{\left(\tfrac{9}{2}\right)^2 + \left(\tfrac{7}{2}\right)^2} \\ &= \frac{\sqrt{130}}{2}. \end{aligned}$ The disk centered at $Q$ with this radius contains every square, so it attains the lower bound.

Hence the minimum radius is $r = \frac{\sqrt{130}}{2},$ and $m + n = 130 + 2 = 132.$

2010 AIME I Problema 8

Respuesta: 132

Nivel de dificultad: 2840

Solución:

El Problema 8 en otros años