Respuesta: 89

Solución:

Como $\mathcal{T}$ comparte un lado con cada uno de los otros rombos, los cinco tienen la misma longitud de lado $z.$ Sea $Y$ el vértice de $\mathcal{T}$ sobre $\overline{AB},$ y sea $\alpha$ el ángulo de $\mathcal{P}$ en $Y.$ Entonces cada rombo congruente tiene área $z^2 \sin\alpha = \sqrt{2006}.$ Los ángulos de $\mathcal{P},$ $\mathcal{T},$ y $\mathcal{Q}$ en $Y$ están sobre la recta $AB,$ y por simetría el ángulo de $\mathcal{Q}$ allí también es igual a $\alpha,$ así que el ángulo de $\mathcal{T}$ es $180^\circ - 2\alpha.$ Por lo tanto $$\begin{aligned} K &= z^2 \sin(180^\circ - 2\alpha) \\ &= z^2 \sin 2\alpha \\ &= 2 z^2 \sin\alpha \cos\alpha \\ &= 2\sqrt{2006}\,\cos\alpha. \end{aligned}$$

Cuando $\alpha$ recorre $(0^\circ, 90^\circ),$ el valor $\cos\alpha$ toma todos los valores en $(0, 1),$ así que $K$ toma todos los valores en $\left(0, \sqrt{8024}\right).$ Como $89^2 = 7921$ $\lt 8024$ $\lt 8100 = 90^2,$ los valores enteros positivos posibles son $1, 2, \ldots, 89:$ hay $89$ de ellos.