Question

La ecuación

z^6+z^3+1=0

tiene una raíz compleja cuyo argumento

\theta

en el plano complejo está entre

90^\circ

y

180^\circ

. Determina la medida en grados de

\theta.

The equation

z^6+z^3+1=0

has one complex root with argument

\theta

between

90^\circ

and

180^\circ

in the complex plane. Determine the degree measure of

\theta.

Respuesta

Respuesta: 160

Conceptos:número complejo raíces de la unidad

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

Sustituye

u=z^3

Substitute

u=z^3

Pista grande:

Los dos argumentos posibles de

z^3

son

120^\circ

y

240^\circ

The two possible arguments of

z^3

are

120^\circ

and

240^\circ

Solución:

Sea

u=z^3.

Entonces

u^2+u+1=0,

por lo que

u

tiene argumento

120^\circ

o

240^\circ.

Al tomar raíces cúbicas se obtienen los argumentos posibles

40^\circ,160^\circ,280^\circ,80^\circ,200^\circ,320^\circ.

El único que está estrictamente entre

90^\circ

y

180^\circ

es

160^\circ.

Let

u=z^3.

Then

u^2+u+1=0,

so

u

has argument

120^\circ

or

240^\circ.

Taking cube roots gives possible arguments

40^\circ,160^\circ,280^\circ,80^\circ,200^\circ,320^\circ.

The only one strictly between

90^\circ

and

180^\circ

is

160^\circ.

1984 AIME Problema 8

Respuesta: 160

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 8 en otros años