2023 AMC 12A 第 4 题

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4.

8^5\cdot 5^{10}\cdot 15^5

的通常数字表示有多少位数字？

How many digits are in the base-ten representation of

8^5\cdot 5^{10}\cdot 15^5?

14

15

16

17

18

答案：E

知识点：质因数分解数字

难度评级：1200

小提示：

把每个底数分解质因数：

8=2^3

，

15=3\cdot 5

。

Factor each base into primes:

8=2^3,

15=3\cdot 5

大提示：

把每个

2

与一个

5

配对形成

10

的幂，还会剩下一个小因子

Pair every

2

with a

5

to form a power of

10,

leaving a small factor

解答：

全部分解为质因数：

\begin{gathered} 8^5\cdot 5^{10}\cdot 15^5\\ {}=2^{15}\cdot 5^{10}\cdot 3^5\cdot 5^5\\ {}=3^5\cdot 2^{15}\cdot 5^{15} \end{gathered}\text{。}

这等于

3^5\cdot 10^{15}=243\cdot 10^{15}

也就是

243

后接

15

个零，总共有

18

位数字。

所以正确答案是 E。

Writing everything in primes,

\begin{gathered} 8^5\cdot 5^{10}\cdot 15^5\\ {}=2^{15}\cdot 5^{10}\cdot 3^5\cdot 5^5\\ {}=3^5\cdot 2^{15}\cdot 5^{15}. \end{gathered}

This equals

3^5\cdot 10^{15}=243\cdot 10^{15},

which is

243

followed by

15

zeros, for a total of

18

digits.

Thus, the correct answer is E.

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