2017 AMC 12B 第 2 题

Question

实数

x

、

y

和

z

满足不等式

0 \lt x \lt 1, \quad -1 \lt y \lt 0\text{，}

以及

1 \lt z \lt 2\text{。}

下列哪个数一定为正？

Real numbers

x,

y,

and

z

satisfy the inequalities

0 \lt x \lt 1, \quad -1 \lt y \lt 0,

and

1 \lt z \lt 2.

Which of the following numbers is necessarily positive?

y + x^2

y + xz

y + y^2

y + 2y^2

y + z

答案：E

知识点：不等式反例

难度评级：1020

小提示：

因为

y \gt -1

且

z \gt 1

，你能推出

y + z

有什么性质？

Since

y \gt -1

and

z \gt 1,

what can you say about

y + z?

大提示：

对其他四个选项，试用

x = \tfrac18

，

y = -\tfrac14

，

z = \tfrac32

使其为负

For the other four, try

x = \tfrac18,

y = -\tfrac14,

z = \tfrac32

to force a negative value

解答：

将

y \gt -1

与

z \gt 1

相加，得到

y + z \gt 0

，所以

y + z

总是正数。其他四个选项都可以取负值：当

x = \tfrac18

，

y = -\tfrac14

，

z = \tfrac32

时，

y + x^2

，

y + xz

，

y + y^2

，和

y + 2y^2

都为负。

所以正确答案是 E。

Adding

y \gt -1

and

z \gt 1

gives

y + z \gt 0,

so

y + z

is always positive. Each of the other four choices can be made negative: with

x = \tfrac18,

y = -\tfrac14,

z = \tfrac32,

every one of

y + x^2,

y + xz,

y + y^2,

and

y + 2y^2

is negative.

Thus, the correct answer is E.

2017 AMC 12B 第 2 题

答案：E

难度评级：1020

小提示：

大提示：

解答：

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