Question

¿Cuál es la mayor suma posible de los dígitos en la representación en base siete de un entero positivo menor que $2019$ ?

What is the greatest possible sum of the digits in the base-seven representation of a positive integer less than $2019?$

$11$

$14$

$22$

$23$

$27$

Respuesta: C

Conceptos:base numérica dígitos optimización

Nivel de dificultad: 1430

Solución:

Primero, $2019=5613_7$ . Cualquier número cuyo primer dígito sea como máximo $4$ tiene suma de dígitos a lo sumo $4+6+6+6=22$ , y $4666_7<5613_7$ alcanza esa suma.

Si el primer dígito es $5$ , entonces un segundo dígito de a lo sumo $5$ da una suma de dígitos como máximo $5+5+6+6=22$ . Si los dos primeros dígitos son $56$ , la comparación con $5613_7$ obliga a que los dos últimos contribuyan como máximo $1+2$ , lo que da una suma aún menor. Por tanto, la mayor suma de dígitos es $22$ .

Así, la respuesta es C.

First, $2019=5613_7$ . Any number with leading digit at most $4$ has digit sum at most $4+6+6+6=22$ , and $4666_7<5613_7$ attains that sum.

If the leading digit is $5$ , then a second digit at most $5$ gives digit sum at most $5+5+6+6=22$ . If the first two digits are $56$ , comparison with $5613_7$ forces the last two digits to contribute at most $1+2$ , giving an even smaller sum. Therefore, the largest digit sum is $22$ .

Thus, the answer is C .

2019 AMC 10B Problema 12

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1430

Solución:

El Problema 12 en otros años