2003 AMC 10A Problema 12

Question

Se elige al azar un punto

(x, y)

dentro del rectángulo con vértices

(0, 0),

(4, 0),

(4, 1),

y

(0, 1).

¿Cuál es la probabilidad de que

x \lt y

?

A point

(x, y)

is randomly picked from inside the rectangle with vertices

(0, 0),

(4, 0),

(4, 1),

and

(0, 1).

What is the probability that

x \lt y?

\dfrac{1}{8}

\dfrac{1}{4}

\dfrac{3}{8}

\dfrac{1}{2}

\dfrac{3}{4}

La región favorable está por encima de la recta

y = x

.

The favorable region lies above the line

y = x

Dentro del rectángulo, esa región es un triángulo con catetos de longitud

1

.

Within the rectangle, that region is a triangle with legs of length

1

La condición

x \lt y

se cumple en el triángulo delimitado por

y = x,

y = 1,

y

x = 0,

que tiene vértices

(0, 0),

(0, 1),

y

(1, 1).

Este triángulo tiene área

\dfrac{1}{2},

mientras que el rectángulo tiene área

4.

La probabilidad es

\dfrac{\frac{1}{2}}{4} = \dfrac{1}{8}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The condition

x \lt y

holds in the triangle bounded by

y = x,

y = 1,

and

x = 0,

which has vertices

(0, 0),

(0, 1),

and

(1, 1).

This triangle has area

\dfrac{1}{2},

while the rectangle has area

4.

The probability is

\dfrac{\frac{1}{2}}{4} = \dfrac{1}{8}.

Thus, the correct answer is A.

El Problema 12 en otros años