Question

El triángulo $\triangle ABC$ está en el plano $\mathcal{P}$ con $AB = 6,$ $AC = 4,$ y $\angle BAC = 90^\circ.$ Sea $D$ la reflexión respecto a $\overline{BC}$ del baricentro de $\triangle ABC.$ Cuatro esferas, todas del mismo lado de $\mathcal{P},$ tienen radios $1, 2, 3,$ y $r$ y son tangentes a $\mathcal{P}$ en los puntos $A,$ $B,$ $C,$ y $D,$ respectivamente. Las cuatro esferas también son cada una tangente a un segundo plano $\mathcal{T}$ y están todas del mismo lado de $\mathcal{T}.$ El valor de $r$ puede escribirse como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

Triangle $\triangle ABC$ lies in plane $\mathcal{P}$ with $AB = 6,$ $AC = 4,$ and $\angle BAC = 90^\circ.$ Let $D$ be the reflection across $\overline{BC}$ of the centroid of $\triangle ABC.$ Four spheres, all on the same side of $\mathcal{P},$ have radii $1, 2, 3,$ and $r$ and are tangent to $\mathcal{P}$ at points $A,$ $B,$ $C,$ and $D,$ respectively. The four spheres are also each tangent to a second plane $\mathcal{T}$ and are all on the same side of $\mathcal{T}.$ The value of $r$ can be written as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 161

Conceptos:esfera Geometría 3D geometría analítica transformación

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

Una esfera de radio $\rho$ tangente a $\mathcal{P}$ en $P$ tiene centro $P + \rho k,$ donde $k$ es el vector normal unitario hacia arriba de $\mathcal{P}.$ Escriba $\mathcal{T}$ como $\{x : n \cdot x = c\}$ con normal unitaria $n = (n_1, n_2, h)$ en coordenadas donde $\mathcal{P}$ es el plano $xy$ . La tangencia con todas las esferas del mismo lado significa $n \cdot (P + \rho k) - c = \rho$ para cada esfera, es decir $n_1 x_P + n_2 y_P - c = (1 - h)\rho.$ Aquí $h \ne 1,$ pues de lo contrario el lado izquierdo sería constante mientras que los radios difieren. Así $\rho = g(P)$ para la función afín $g(x,y) = \frac{n_1 x + n_2 y - c}{1 - h}.$

Tome $A = (0,0),$ $B = (6,0),$ $C = (0,4).$ La función afín con $g(A) = 1,$ $g(B) = 2,$ $g(C) = 3$ es $g(x,y) = 1 + \frac{x}{6} + \frac{y}{2}.$ El baricentro es $G = \left(2, \frac{4}{3}\right),$ y la recta $BC$ es $2x + 3y = 12.$ Como $2 \cdot 2 + 3 \cdot \frac{4}{3} - 12 = -4,$ la reflexión da $\begin{aligned} D &= G + \frac{8}{13}\,(2, 3) \\ &= \left(\frac{42}{13},\ \frac{124}{39}\right). \end{aligned}$

Por lo tanto $r = g(D)$ $= 1 + \frac{1}{6} \cdot \frac{42}{13}$ $+ \frac{1}{2} \cdot \frac{124}{39}$ $= 1 + \frac{21}{39} + \frac{62}{39}$ $= \frac{122}{39}.$ (Tal plano existe: la condición sobre la normal $(1-h)^2\left|\nabla g\right|^2 = 1 - h^2$ con $\left|\nabla g\right|^2 = \frac{5}{18}$ da $h = -\frac{13}{23}.$ ) Como $\gcd(122, 39) = 1,$ la respuesta es $122 + 39 = 161.$

A sphere of radius $\rho$ tangent to $\mathcal{P}$ at $P$ has center $P + \rho k,$ where $k$ is the upward unit normal of $\mathcal{P}.$ Write $\mathcal{T}$ as $\{x : n \cdot x = c\}$ with unit normal $n = (n_1, n_2, h)$ in coordinates where $\mathcal{P}$ is the $xy$ -plane. Tangency with all spheres on the same side means $n \cdot (P + \rho k) - c = \rho$ for each sphere, that is $n_1 x_P + n_2 y_P - c = (1 - h)\rho.$ Here $h \ne 1,$ since otherwise the left side would be constant while the radii differ. So $\rho = g(P)$ for the affine function $g(x,y) = \frac{n_1 x + n_2 y - c}{1 - h}.$

Take $A = (0,0),$ $B = (6,0),$ $C = (0,4).$ The affine function with $g(A) = 1,$ $g(B) = 2,$ $g(C) = 3$ is $g(x,y) = 1 + \frac{x}{6} + \frac{y}{2}.$ The centroid is $G = \left(2, \frac{4}{3}\right),$ and line $BC$ is $2x + 3y = 12.$ Since $2 \cdot 2 + 3 \cdot \frac{4}{3} - 12 = -4,$ reflecting gives $\begin{aligned} D &= G + \frac{8}{13}\,(2, 3) \\ &= \left(\frac{42}{13},\ \frac{124}{39}\right). \end{aligned}$

Therefore $r = g(D)$ $= 1 + \frac{1}{6} \cdot \frac{42}{13}$ $+ \frac{1}{2} \cdot \frac{124}{39}$ $= 1 + \frac{21}{39} + \frac{62}{39}$ $= \frac{122}{39}.$ (Such a plane exists: the normal condition $(1-h)^2\left|\nabla g\right|^2 = 1 - h^2$ with $\left|\nabla g\right|^2 = \frac{5}{18}$ gives $h = -\frac{13}{23}.$ ) Since $\gcd(122, 39) = 1,$ the answer is $122 + 39 = 161.$

2026 AIME I Problema 12

Respuesta: 161

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

El Problema 12 en otros años