Question

Las coordenadas de los vértices del trapecio isósceles $ABCD$ son todas enteras, con $A = (20, 100)$ y $D = (21, 107).$ El trapecio no tiene lados horizontales ni verticales, y $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$ son los únicos lados paralelos. La suma de los valores absolutos de todas las pendientes posibles de $\overline{AB}$ es $m/n,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

The coordinates of the vertices of isosceles trapezoid $ABCD$ are all integers, with $A = (20, 100)$ and $D = (21, 107).$ The trapezoid has no horizontal or vertical sides, and $\overline{AB}$ and $\overline{CD}$ are the only parallel sides. The sum of the absolute values of all possible slopes for $\overline{AB}$ is $m/n,$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 131

Conceptos:trapecio punto reticular pendiente análisis por casos

Nivel de dificultad: 2990

Solución:

Como todos los vértices son puntos reticulares, $w = \overrightarrow{BC}$ es un vector entero con $|w| = |\overrightarrow{AD}| = \sqrt{50},$ así que $w$ es uno de $(\pm 1, \pm 7),$ $(\pm 7, \pm 1),$ $(\pm 5, \pm 5).$ Escribe $\overrightarrow{AD} = (1, 7) = s\,\hat{u} + h\,\hat{v}$ donde $\hat{u}$ apunta a lo largo de $\overline{AB}$ y $\hat{v}$ es perpendicular. Como $\overline{AB} \parallel \overline{CD},$ el vector $w$ tiene la misma componente perpendicular $h,$ y la igualdad de las longitudes de los lados obliga a que su componente en $\hat{u}$ sea $-s$ (el valor $+s$ da un paralelogramo). Por tanto $(1, 7) - w = 2s\,\hat{u}$ es paralelo a $\overline{AB}.$

Descarta $w = (1, 7)$ (paralelogramo) y $w = (-1, -7)$ (entonces $h = 0,$ degenerado). Las opciones $w = (1, -7)$ y $w = (-1, 7)$ hacen que $(1, 7) - w$ sea vertical u horizontal, lo cual está prohibido. Las ocho opciones restantes dan $(1, 7) - w$ igual a $(-6, 6),$ $(-6, 8),$ $(8, 6),$ $(8, 8),$ $(-4, 2),$ $(-4, 12),$ $(6, 2),$ $(6, 12),$ con pendientes $-1,$ $-\frac{4}{3},$ $\frac{3}{4},$ $1,$ $-\frac{1}{2},$ $-3,$ $\frac{1}{3},$ $2;$ cada una es realizable colocando $B$ suficientemente lejos a lo largo de $\hat{u}.$

La suma de los valores absolutos es $1 + \frac{4}{3} + \frac{3}{4} + 1 + \frac{1}{2}$ $+ 3 + \frac{1}{3} + 2 = \frac{119}{12},$ así que $m + n = 119 + 12 = 131.$

Since all vertices are lattice points, $w = \overrightarrow{BC}$ is an integer vector with $|w| = |\overrightarrow{AD}| = \sqrt{50},$ so $w$ is one of $(\pm 1, \pm 7),$ $(\pm 7, \pm 1),$ $(\pm 5, \pm 5).$ Write $\overrightarrow{AD} = (1, 7) = s\,\hat{u} + h\,\hat{v}$ where $\hat{u}$ points along $\overline{AB}$ and $\hat{v}$ is perpendicular. Because $\overline{AB} \parallel \overline{CD},$ the vector $w$ has the same perpendicular component $h,$ and the equal leg lengths force its $\hat{u}$ -component to be $-s$ (the value $+s$ gives a parallelogram). Hence $(1, 7) - w = 2s\,\hat{u}$ is parallel to $\overline{AB}.$

Discard $w = (1, 7)$ (parallelogram) and $w = (-1, -7)$ (then $h = 0,$ degenerate). The choices $w = (1, -7)$ and $w = (-1, 7)$ make $(1, 7) - w$ vertical or horizontal, which is forbidden. The remaining eight choices give $(1, 7) - w$ equal to $(-6, 6),$ $(-6, 8),$ $(8, 6),$ $(8, 8),$ $(-4, 2),$ $(-4, 12),$ $(6, 2),$ $(6, 12),$ with slopes $-1,$ $-\frac{4}{3},$ $\frac{3}{4},$ $1,$ $-\frac{1}{2},$ $-3,$ $\frac{1}{3},$ $2;$ each is realizable by placing $B$ suitably far along $\hat{u}.$

The sum of the absolute values is $1 + \frac{4}{3} + \frac{3}{4} + 1 + \frac{1}{2}$ $+ 3 + \frac{1}{3} + 2 = \frac{119}{12},$ so $m + n = 119 + 12 = 131.$

2000 AIME II Problema 11

Respuesta: 131

Nivel de dificultad: 2990

Solución:

El Problema 11 en otros años