Question

Sea

P

el producto de las raíces de

z^6+z^4+z^3+z^2+1=0

que tienen parte imaginaria positiva, y supón que

P=r(\cos\theta^\circ+i\sin\theta^\circ),

donde

r>0

y

0\leq\theta<360.

Halla

\theta.

Let

P

be the product of the roots of

z^6+z^4+z^3+z^2+1=0

that have positive imaginary part, and suppose that

P=r(\cos\theta^\circ+i\sin\theta^\circ),

where

r>0

and

0\leq\theta<360.

Find

\theta.

Respuesta

Respuesta: 276

Conceptos:número complejo raíces de la unidad factorización

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Divide entre

z^3

y define

w=z+z^{-1}

Divide by

z^3

and set

w=z+z^{-1}

Pista grande:

Factoriza la cúbica resultante en

w

e identifica cada valor como

2\cos\phi

Factor the resulting cubic in

w

and identify each value as

2\cos\phi

Solución:

Ninguna raíz es cero. Al dividir entre

z^3

y definir

w=z+z^{-1}

se obtiene

\begin{aligned}w^3-2w+1&=0,\\{}(w-1)(w^2+w-1)&=0.\end{aligned}

Sus tres raíces son

\begin{aligned}1&=2\cos60^\circ,\\\frac{\sqrt5-1}{2}&=2\cos72^\circ,\\-\frac{1+\sqrt5}{2}&=2\cos144^\circ.\end{aligned}

Para cada valor

w=2\cos\phi,

las raíces correspondientes de la ecuación original son

e^{i\phi}

y

e^{-i\phi}.

Por lo tanto, las raíces con parte imaginaria positiva tienen argumentos

60^\circ,

72^\circ,

y

144^\circ.

Su producto tiene argumento

60+72+144=276^\circ,

así que

\theta=276.

No root is zero. Dividing by

z^3

and setting

w=z+z^{-1}

gives

\begin{aligned}w^3-2w+1&=0,\\{}(w-1)(w^2+w-1)&=0.\end{aligned}

Its three roots are

\begin{aligned}1&=2\cos60^\circ,\\\frac{\sqrt5-1}{2}&=2\cos72^\circ,\\-\frac{1+\sqrt5}{2}&=2\cos144^\circ.\end{aligned}

For each value

w=2\cos\phi,

the corresponding roots of the original equation are

e^{i\phi}

and

e^{-i\phi}.

Thus the roots with positive imaginary part have arguments

60^\circ,

72^\circ,

and

144^\circ.

Their product has argument

60+72+144=276^\circ,

so

\theta=276.

1996 AIME Problema 11

Respuesta: 276

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años