Question

El polinomio

1-x+x^2-x^3+\cdots

{}+x^{16}-x^{17}

puede escribirse en la forma

\begin{aligned} &a_0+a_1y+a_2y^2+\cdots\\ &\qquad{}+a_{16}y^{16}+a_{17}y^{17}, \end{aligned}

donde

y=x+1

y los

a_i

son constantes. Halla

a_2.

The polynomial

1-x+x^2-x^3+\cdots

{}+x^{16}-x^{17}

may be written in the form

\begin{aligned} &a_0+a_1y+a_2y^2+\cdots\\ &\qquad{}+a_{16}y^{16}+a_{17}y^{17}, \end{aligned}

where

y=x+1

and the

a_i

’s are constants. Find

a_2.

Respuesta

Sustituye

x=y-1

antes de desarrollar

Substitute

x=y-1

before expanding

Halla solo el coeficiente de

y^2

en cada potencia y usa la identidad del palo de hockey

Find only the coefficient of

y^2

in each power and use the hockey-stick identity

El polinomio es

\sum_{k=0}^{17}(-x)^k.

Como

x=y-1,

se convierte en

\sum_{k=0}^{17}(1-y)^k.

Para

k\geq2,

el coeficiente de

y^2

en

(1-y)^k

es

\binom{k}{2}.

Por tanto,

a_2=\sum_{k=2}^{17}\binom{k}{2} =\binom{18}{3}=816.

The polynomial is

\sum_{k=0}^{17}(-x)^k.

Since

x=y-1,

this becomes

\sum_{k=0}^{17}(1-y)^k.

For

k\geq2,

the coefficient of

y^2

in

(1-y)^k

is

\binom{k}{2}.

Hence

a_2=\sum_{k=2}^{17}\binom{k}{2} =\binom{18}{3}=816.