2019 AMC 12B 第 4 题

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4.

正整数

n

满足方程

(n+1)!+(n+2)!=440\cdot n!

。

n

的各位数字之和是多少？

A positive integer

n

satisfies the equation

(n+1)!+(n+2)!=440\cdot n!.

What is the sum of the digits of

n?

2

5

10

12

15

答案：C

知识点：阶乘二次方程

难度评级：1200

小提示：

从左边提出因式

(n+1)!

Factor

(n+1)!

out of the left side

大提示：

除以

n!

后得到

(n+1)(n+3)=440

Dividing by

n!

gives

(n+1)(n+3)=440

解答：

分解左边：

\begin{gathered} (n+1)!+(n+2)! \\ =(n+1)!\,[1+(n+2)] \\ =(n+1)!\,(n+3) \end{gathered}\text{。}

两边同除以

n!

并使用

(n+1)!=(n+1)\,n!

得到

(n+1)(n+3)=440\text{。}

所以

n^2+4n-437=0

，可分解为

(n-19)(n+23)=0

，得

n=19

。它的数字和为

1+9=10

。

所以正确答案是 C。

Factor the left side:

\begin{gathered} (n+1)!+(n+2)! \\ =(n+1)!\,[1+(n+2)] \\ =(n+1)!\,(n+3). \end{gathered}

Dividing both sides by

n!

and using

(n+1)!=(n+1)\,n!

gives

(n+1)(n+3)=440.

So

n^2+4n-437=0,

which factors as

(n-19)(n+23)=0,

giving

n=19.

Its digit sum is

1+9=10.

Thus, C is the correct answer.

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