1999 AMC 12 第 4 题

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4.

求

1

到

100

之间所有质数的和，这些质数同时满足：比某个

4

的倍数大

1

，并且比某个

5

的倍数小

1

。

Find the sum of all prime numbers between

1

and

100

that are simultaneously

1

greater than a multiple of

4

and

1

less than a multiple of

5.

118

137

158

187

245

答案：A

知识点：模运算质数中国剩余定理

难度评级：1240

小提示：

比

5

的倍数小

1

的数个位为

4

或

9

。

A number

1

less than a multiple of

5

has units digit

4

or

9

大提示：

同时满足

\equiv 1 \pmod 4

，会迫使该数

\equiv 9 \pmod{20}

Being also

\equiv 1 \pmod 4

forces the number to be

\equiv 9 \pmod{20}

解答：

比

5

的倍数小

1

的数个位为

4

或

9

，而比

4

的倍数大

1

的数是奇数，所以这些数必须满足

\equiv 9 \pmod{20}

。符合条件的数是

9, 29, 49, 69, 89

。

其中质数只有

29

和

89

，和为

29 + 89 = 118

。

所以正确答案是 A。

A number that is

1

less than a multiple of

5

ends in

4

or

9,

and one that is

1

greater than a multiple of

4

is odd. Together these give numbers

\equiv 9 \pmod{20},

namely

9, 29, 49, 69, 89.

Among these, only

29

and

89

are prime, and their sum is

29 + 89 = 118.

Thus, the correct answer is A.

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