Question

以 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 为圆心的三个圆半径均为 $r$ ，其中 $1\lt r\lt2$ 。任意两个圆心之间的距离都是 $2$ 。设 $B'$ 是圆 $A$ 与圆 $C$ 位于圆 $B$ 外部的交点， $C'$ 是圆 $A$ 与圆 $B$ 位于圆 $C$ 外部的交点，则 $B'C'$ 的长度等于

Circles with centers $A,$ $B,$ and $C$ each have radius $r,$ where $1\lt r\lt2.$ The distance between each pair of centers is $2.$ If $B'$ is the point of intersection of circle $A$ and circle $C$ which is outside circle $B,$ and if $C'$ is the point of intersection of circle $A$ and circle $B$ which is outside circle $C,$ then length $B'C'$ equals

$3r-2$

$r^2$

$r+\sqrt{3(r-1)}$

$1+\sqrt{3(r^2-1)}$

以上都不是

none of these

答案：D

知识点：圆等边三角形相似对称性

难度评级：2200

小提示：

引入位于圆 $A$ 外部的类似点 $A'$ ；由对称性， $A'B'C'$ 是等边三角形

Introduce the analogous point $A'$ outside circle $A$ ; symmetry makes $A'B'C'$ equilateral

大提示：

利用共同的重心以及边长为 $r$ 、 $r$ 和 $2$ 的等腰三角形的高 $\sqrt{r^2-1}$

Use the common centroid and the altitude $\sqrt{r^2-1}$ of an isosceles triangle with sides $r,$ $r,$ and $2$

解答：

设 $A'$ 为以 $B$ 和 $C$ 为圆心的两圆在外侧的对应交点。那么 $A'B'C'$ 与 $ABC$ 是同心的等边三角形。设 $K$ 为它们的共同重心， $M$ 为 $BC$ 的中点，则 $\begin{aligned} A'M&=\sqrt{r^2-1},\\ MK&=\frac{\sqrt3}{3},\\ AK&=\frac{2\sqrt3}{3} \end{aligned}\text{。}$ 由相似性， $\begin{aligned} \frac{B'C'}2&=\frac{A'K}{AK}\\ &=\frac{\sqrt{r^2-1}+\frac{\sqrt3}{3}} {\frac{2\sqrt3}{3}} \end{aligned}\text{。}$ 因此 $B'C'=1+\sqrt{3(r^2-1)}$ 。

因此，正确答案是 D。

Let $A'$ be the analogous outer intersection of the circles centered at $B$ and $C.$ Then $A'B'C'$ and $ABC$ are concentric equilateral triangles. If $K$ is their common centroid and $M$ is the midpoint of $BC,$ then $\begin{aligned} A'M&=\sqrt{r^2-1},\\ MK&=\frac{\sqrt3}{3},\\ AK&=\frac{2\sqrt3}{3}. \end{aligned}$ Similarity gives $\begin{aligned} \frac{B'C'}2&=\frac{A'K}{AK}\\ &=\frac{\sqrt{r^2-1}+\frac{\sqrt3}{3}} {\frac{2\sqrt3}{3}}. \end{aligned}$ Hence $B'C'=1+\sqrt{3(r^2-1)}.$

Therefore, the correct answer is D.

1979 AMC 12 第 28 题

答案：D

难度评级：2200

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 28 题