Question

A Jerry le gusta jugar con números. Un día, escribió todos los enteros desde $1$ hasta $2024$ en la pizarra. Luego, repetidamente eligió cuatro números en la pizarra, los borró y los reemplazó por su suma o su producto. (Por ejemplo, el primer paso de Jerry pudo haber sido borrar $1, 2, 3,$ y $5,$ y luego escribir en la pizarra o bien $11,$ su suma, o bien $30,$ su producto.) Después de realizar repetidamente esta operación, Jerry notó que todos los números que quedaban en la pizarra eran impares. ¿Cuál es el número máximo posible de enteros en la pizarra en ese momento?

Jerry likes to play with numbers. One day, he wrote all the integers from $1$ to $2024$ on the whiteboard. Then he repeatedly chose four numbers on the whiteboard, erased them, and replaced them by either their sum or their product. (For example, Jerry's first step might have been to erase $1, 2, 3,$ and $5,$ and then write either $11,$ their sum, or $30,$ their product, on the whiteboard.) After repeatedly performing this operation, Jerry noticed that all the remaining numbers on the whiteboard were odd. What is the maximum possible number of integers on the whiteboard at that time?

$1010$

$1011$

$1012$

$1013$

$1014$

Respuesta: A

Conceptos:paridad invariante optimización

Nivel de dificultad: 1800

Solución:

Entre $1, \ldots, 2024$ hay $1012$ números pares y $1012$ impares. Cada operación sustituye $4$ entradas por $1,$ así que el número total de entradas disminuye en $3.$ Si una operación consume $e$ entradas pares, su resultado es impar, y el número de pares disminuye en $e,$ o el resultado es par, y el número de pares disminuye en $e-1.$ En ambos casos, el número de pares disminuye como máximo en $3.$ Por tanto, eliminar las $1012$ entradas pares requiere al menos $\lceil1012/3\rceil=338$ operaciones. Esta cota se alcanza: usamos $337$ sumas formadas por un impar y tres pares, y luego una suma formada por tres impares y el último par. Todos los resultados son impares. Así, el máximo número de entradas restantes es $2024-3\cdot338=1010.$ Por lo tanto, la respuesta es A.

Among $1, \ldots, 2024$ there are $1012$ even numbers and $1012$ odd numbers. Each operation replaces $4$ entries by $1,$ so the total count falls by $3.$ If a move consumes $e$ even entries, its output is either odd, reducing the even count by $e,$ or even, reducing it by $e-1.$ In either case the even count falls by at most $3.$ Therefore eliminating all $1012$ even entries takes at least $\lceil1012/3\rceil=338$ moves. This is achievable: use $337$ sums containing one odd and three evens, then one sum containing three odds and the final even. Every output is odd. Thus the maximum remaining count is $2024-3\cdot338=1010.$ Therefore, the answer is A.

2024 AMC 10B Problema 16

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1800

Solución:

El Problema 16 en otros años